Лекции по ТОЭ

|Просуммируем напряжения на ветвях некоторого контура: |

|[pic] |

|Поскольку при обходе контура потенциал каждой i-ой точки встречается два раза, причем|

|один раз с “+”, а второй – с “-”, то в целом сумма равна нулю. |

|Таким образом, второй закон Кирхгофа математически записывается, как: |

|[pic] |

|(5) |

| |

|- и имеет место следующую формулировку: алгебраическая сумма напряжений на зажимах |

|ветвей (элементов) контура равна нулю. При этом при расчете цепей с использованием |

|законов Кирхгофа записывается [pic]независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, |

|т.е. уравнений, записываемых для контуров, каждый из которых отличается от других |

|хотя бы одной ветвью. Значение топологического понятия “дерева”: дерево позволяет |

|образовать независимые контуры и сечения и, следовательно, формировать независимые |

|уравнения по законам Кирхгофа. Таким образом, с учетом (m-1) уравнений, составленных |

|по первому закону Кирхгофа, получаем систему из [pic]уравнений, что равно числу |

|ветвей схемы и, следовательно, токи в них находятся однозначно. |

|Введем столбцовую матрицу напряжений ветвей |

|U= |

|[pic] |

| |

|Тогда второй закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид |

|BU = 0. |

|(6) |

| |

|В качестве примера для схемы рис. 5 имеем |

|[pic], |

|откуда, например, для первого контура получаем |

|[pic], |

|что и должно иметь место. |

|Если ввести столбцовую матрицу узловых потенциалов |

|= |

|[pic] |

| |

|причем потенциал последнего узла [pic], то матрица напряжений ветвей и узловых |

|потенциалов связаны соотношением |

|U=AТ[pic] |

|(7) |

| |

|где AТ - транспонированная узловая матрица. |

|Для определения матрицы В по известной матрице А=АДАС , где АД – подматрица, |

|соответствующая ветвям некоторого дерева, АС- подматрица, соответствующая ветвям |

|связи, может быть использовано соотношение В= (-АТС А-1ТД1). |

|3. Матрица сечений – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому |

|закону Кирхгофа для сечений. Ее строки соответствуют сечениям, а столбцы – ветвям |

|графа. |

|Матрица Q , составленная для главных сечений, называется матрицей главных сечений. |

|Число строк матрицы Q равно числу независимых сечений. |

|Элемент qij матрицы Q равен 1, если ветвьвходит в i-е сечение и ориентирована |

|согласно направлению сечения (за положительное направление сечения принимают |

|направление ветви дерева, входящей в него), -1, если ориентирована противоположно |

|направлению сечения, и 0, если ветвьj не входит в i-е сечение. |

|В качестве примера составим матрицу Q главных сечений для графа на рис. 5. При |

|указанной на рис. 5 ориентации ветвей имеем |

| |

| |

|[pic] |

| |

|[pic] |

|[pic] |

|[pic] |

| |

|В заключение отметим, что для топологических матриц А, В и Q, составленных для одного|

|и того же графа, выполняются соотношения |

|АВТ= 0; |

|(8) |

| |

| |

|QВТ= 0, |

|(9) |

| |

|которые, в частности, можно использовать для проверки правильности составления этих |

|матриц. Здесь 0 – нулевая матрица порядка [pic]. |

|Приведенные уравнения позволяют сделать важное заключение: зная одну из |

|топологических матриц, по ее структуре можно восстановить остальные. |

|Литература |

|1. Теоретические основы электротехники. Т.1. Основы теории линейных цепей./Под ред. |

|П.А.Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд.2-е , перераб. и доп. –М.: Высш. |

|шк., 1976.-544с. |

|2. Матханов Х.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.: Учеб. для |

|электротехн. и радиотехн. спец. 3-е изд. переработ. и доп. –М.: Высш. шк., 1990. |

|–400с. |

|3. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, |

|С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |

| |

|Контрольные вопросы и задачи |

|Сформулируйте основные топологические понятия для электрических цепей. |

|Что такое узловая матрица? |

|Что такое контурная матрица? |

|Что такое матрица сечений? |

|Токи ветвей некоторой планарной цепи удовлетворяют следующей полной системе |

|независимых уравнений: |

|[pic]. |

|Восстановив граф цепи, составить матрицы главных контуров и сечений, приняв, что |

|ветвям дерева присвоены первые номера. |

|Ответ: |

|B= |

|[pic] |

|Q= |

|[pic] |

| |

|Составить матрицу главных контуров для графа на рис. 3, приняв, что дерево образовано|

|ветвями 2, 1 и 5 |

|Ответ: |

|B= |

|[pic] |

| |

|Решить задачу 5, используя соотношения (8) и (9). |

| Теория / ТОЭ / Лекция N 3. Представление синусоидальных величин с помощью |

|векторов и комплексных чисел. |

|Переменный ток долгое время не находил практического применения. Это было связано с |

|тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который|

|вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного |

|тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития |

|производства постоянный ток все менее стал удовлетворять возрастающим требованиям |

|экономичного электроснабжения. Переменный ток дал возможность эффективного дробления |

|электрической энергии и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. |

|Появилась возможность производства электроэнергии на крупных электростанциях с |

|последующим экономичным ее распределением потребителям, увеличился радиус |

|электроснабжения. |

|В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии |

|осуществляется в основном на переменном токе. Цепи с изменяющимися – переменными – |

|токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Переменные токи|

|и напряжения вызывают переменные электрические и магнитные поля. В результате |

|изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, |

|которые оказывают самое существенное влияние на процессы, протекающие в цепях, |

|усложняя их анализ. |

|Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток (напряжение, ЭДС и т.д.), |

|изменяющийся во времени. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки |

|времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший |

|промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, - периодом Т. Для |

|периодического тока имеем |

|[pic], |

| (1) |

| |

|Величина, обратная периоду, есть частота, измеряемая в герцах (Гц): |

|[pic], |

|(2) |

| |

|Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0.01ё10 Гц – в |

|системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) – до |

|сверхвысоких (3000 ё 300000 МГц – миллиметровые волны: радиолокация, |

|радиоастрономия). В РФ промышленная частота f = 50Гц. |

|Мгновенное значение переменной величины есть функция времени. Ее принято обозначать |

|строчной буквой: |

|i - мгновенное значение тока [pic]; |

|u – мгновенное значение напряжения [pic]; |

|е - мгновенное значение ЭДС [pic]; |

|р- мгновенное значение мощности [pic]. |

|Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой |

|(ее принято обозначать заглавной буквой с индексом m). |

|[pic] - амплитуда тока; |

|[pic] - амплитуда напряжения; |

|[pic] - амплитуда ЭДС. |

|Действующее значение переменного тока |

|Значение периодического тока, равное такому значению постоянного тока, который за |

|время одного периода произведет тот же самый тепловой или электродинамический эффект,|

|что и периодический ток, называют действующим значением периодического тока: |

|[pic], |

|(3) |

| |

|Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжения. |

| |

|Синусоидально изменяющийся ток |

|Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил |

|синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то |

|преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять |

|производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только |

|при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых |

|напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи. Теория синусоидального |

|тока является ключом к пониманию теории других цепей. |

|Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений |

|и токов на плоскости декартовых координат |

|Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи |

|уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой |

|плоскости или комплексными числами. |

|Приведенным на рис. 1, 2 графикам двух синусоидальных ЭДС е1 и е2 соответствуют |

|уравнения: |

|[pic][pic]. |

|[pic] |

|Значения аргументов синусоидальных функций [pic] и [pic] называются фазами синусоид, |

|а значение фазы в начальный момент времени (t=0): [pic] и [pic] - начальной фазой ( |

|[pic][pic]). |

|Величину [pic], характеризующую скорость изменения фазового угла, называют угловой |

|частотой. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на |

|[pic] рад., то угловая частота есть [pic], где f– частота. |

|При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их |

|фазовых углов, равную разности начальных фаз, называют углом сдвига фаз. |

|Для синусоидальных ЭДС е1 и е2 угол сдвига фаз: |

|[pic]. |

| |

|Векторное изображение синусоидально |

|изменяющихся величин |

|На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю |

|амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой |

|стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, |

|равной w. Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. |

|Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е1 и е2 |

|(рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, |

|напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм|

|векторы удобно располагать для начального момента времени (t=0), что вытекает из |

|равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система |

|декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w. Таким |

|образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы |

|нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает|

|расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение |

|и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием |

|соответствующих векторов. |

| |

|[pic] |

| |

|Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток [pic] равен сумме токов|

|[pic] и [pic] двух ветвей: |

|[pic]. |

|Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением |

|[pic]и[pic] . |

|Результирующий ток также будет синусоидален: |

|[pic]. |

|Определение амплитуды[pic] и начальной фазы [pic] этого тока путем соответствующих |

|тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, |

|особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще |

|это осуществляется с помощью векторной диаграммы. На рис. 6 изображены начальные |

|положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения |

|токов для t=0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их |

|взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным |

|[pic]. |

|Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному |

|значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов: |

|[pic]. |

|Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения [pic] и |

|[pic] из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения |

|[pic] путем формального учета угловой частоты: [pic]. |

| |

|Представление синусоидальных ЭДС, напряжений |

|и токов комплексными числами |

|Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с |

|комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов. |

|Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное |

|число, которое может быть записано в : |

|показательной [pic] |

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5