Плоская задача теории упругости

Плоская задача теории упругости

Нижегородский государственный

архитектурно-строительный университет.

Кафедра сопротивления материалов и теории упругости.

Расчетно-проектировочная работа

Плоская задача теории упругости

Выполнил:

Студент гр. 163 А.В.Троханов

Проверила:

Т.П. Виноградова

Н.Новгород 2002 г.

Из тела находящегося в плоском напряженном состоянии, выделена

пластина, толщина которой 1 см, размеры в плане 20х20 см.

Схема закрепления пластины.

[pic]

Задаваясь функцией напряжений, общий вид которой

Ф (х,у)=а1х3у+а2х3+а3х2у+а4х2+а5ху+а6у2+а7ху2+а8у3+а9ху3

Принять два коэффициента функции согласно таблиц 1 и 2, остальные шесть

коэффициентов принять равными нулю. В этих же таблицах даны значения модуля

упругости Е и коэффициента Пуассона для материала пластины.

Найти общие выражения для напряжений (х, (у, (ху (объемные силы не

учитывать) и построить эпюры этих напряжений для контура пластины.

Определить выражения для перемещений U и V. Показать графически(на

миллиметровке) перемещение пластины в результате деформирования, определив

компоненты перемещений U и V в девяти точках, указанных на схеме. Для

наглядности изображения для перемещений выбрать более крупный масштаб, чем

масштаб длин. Значение U и V свести в таблицу.

Расчет.

Дано: а3=1/3, а4= 1

Е=0,69*106 кг/см2

(=0,33

Решение:

1.Проверим, удовлетворяет ли функция напряжений бигармоническому

уравнению.

Ф(х,у)=[pic]

Поскольку производные

[pic]

-бигармоническое уравнение удовлетворяется.

2.Определяем компоненты по формулам Эри, принимая объемные силы

равными нулю.

(х=[pic]

(у=[pic]

(ху=[pic]

3.Строим эпюры напряжений для контура пластины согласно полученным

аналитическим напряжениям.

[pic]

4.Проверяем равновесие пластины

[pic]

Уравненения равновесия:

(х=0 -Т5+Т6=0 > 0=0

(y=0 Т4+Т3+Т2-Т1-N2+N1=0 > 0=0

(M=0 M (T4T3)=-M(T2T1) > 0=0

удовлетворяется, т.е. пластина находится в равновесии.

5.Для точки А с координатами (5,-5) найти величины главных напряжений

и положение главных осей для точки А.

В этой точке напряжения в основных площадках. (х=0, (у=-1,33,

(ху=3,33,

Найдем главное напряжение по формуле:

[pic]=-0,665(3,396 кгс/см2 [pic]

(max=(I=2,731 МПа

(min=(II= -4,061 МПа

Находим направление главных осей.

[pic]

[pic] (I=39,36o

[pic] (II=-50,64o

6.Определяем компоненты деформации

[pic]

7.Находим компоненты перемещений

[pic]

Интегрируем полученные выражения

[pic]

((у), ((х) –некоторые функции интегрирования

[pic]

[pic]

или

[pic]

После интегрирования получим

[pic]

где с1 и с2 – постоянные интегрирования

С учетом получения выражений для ((у) и ((х) компоненты перемещений

имеет вид

[pic]

Постоянные с1, с2, и с определяем из условий закрепления пластины:

1) [pic]v =0 или [pic]

2) v =0 или [pic]

3) u =0 или [pic]

Окончательные выражения для функций перемещений u и v

[pic]

Покажем деформированное состояние пластины определив для этого

перемещение в 9-ти точках.

|1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 | |координаты |Х(см) |-10 |0 |10 |10 |10 |0 |-

10 |-10 |0 | | |У(см) |10 |10 |10 |0 |-10 |-10 |-10 |0 |0 | |V*10-4 |3,8

|0,77 |0,58 |-0,19 |0 |0,19 |3,2 |3,1 |0 | |U*10-4 |-3,1 |-3,5 |-3,9 |-1,9

|0 |-0,23 |-0,45 |-1,8 |-1,9 | |

[pic]

Масштаб

V длин: в 1см – 2см

V перемещений: в 1см - 1*10-4см