Эффективные характеристики случайно неоднородных сред

Эффективные характеристики случайно неоднородных сред

Введение

Решающую роль в восприятии окружающего мира играют характеристики,

сохраняющиеся (в замкнутых системах). Среди них имеются такие

универсальные, как масса, количество движения, момент количества движения,

энергия и энтропия.

В учении о теплообмене рассматриваются процессы распространения теплоты в

твердых, жидких и газообразных телах. Эти процессы по своей физико-

механической природе весьма многообразны, отличаются большой сложностью и

обычно развиваются в виде целого комплекса разнородных явлений.

Перенос теплоты может осуществляться тремя способами: теплопроводностью,

конвекцией и излучением, или радиацией. Эти формы глубоко различны по своей

природе и характеризуются различными законами.

Процесс переноса теплоты теплопроводностью происходит между непосредственно

соприкасающимися телами или частицами тел с различной температурой. Учение

о теплопроводности однородных и изотропных тел опирается на весьма прочный

теоретический фундамент. Оно основано на простых количественных законах и

располагает хорошо разработанным математическим аппаратом. Теплопроводность

представляет собой, согласно взглядам современной физики, молекулярный

процесс передачи теплоты.

При определении переноса теплоты теплопроводностью в реальных телах

встречаются известные трудности, которые на практике до сих пор

удовлетворительно не решены. Эти трудности состоят в том, что тепловые

процессы развиваются в неоднородной среде, свойства которой зависят от

температуры и изменяются по объему; кроме того, трудности возникают с

увеличением сложности конфигурации системы.

Уравнение теплопроводности имеет вид:

[pic] [pic] (1)

выражает тот факт, что изменения теплосодержания определенной массы

вещества, заключенного в единице объема, определяется различием между

притоком и вытеканием энергии - дивергенцией плотности теплового потока

[pic], при условии что внутренних источников энергии нет. Тепловой поток

пропорционален градиенту температуры и направлен в сторону ее падения;

[pic]- коэффициент теплопроводности.

При разработке методов иследования композиционных материалов весьма

трудно и, по-видимому, не имеет смысла (в тех случаях, когда это можно

практически реализовать) полностью учитывать структуру копмозита. В связи с

этим возникла необходимость связать механику композитных материалов с

механизмами элементов конструкций, развивающимися обычно в рамках

континуальных процессах. Эта задача решается в процессе создания теории

определения приведенных свойств композитных материалов различных структур

(слоистые, волокнистые и др.), при описании их поведения в рамках

континуальных представлений. Таким образом совершается переход от кусочно-

однородной среды к однофазной.

Рассмотрим двухфазный композитный материал, представляющий собой

матрицу, в которой случайным образом распределены включения второй фазы

(армирующий элемент), имеющий приблизительно равноосную форму. Количество

включений достаточно велико на участке изменения температуры. Пусть некая

характеристика матрицы - [pic], а включений - [pic]. Тогда можно

представить композит, как новый материал, с характеристиками промежуточными

между характеристиками матрицы и включений, зависящей от объемной доли этих

фаз.

[pic],

(2)

Где [pic] [pic] [pic]

Подстановка (2) в (1) дает:

[pic] (3)

Имеем операторы:

[pic]

(4а)

[pic]

(4б)

После преобразования Фурье получаем

[pic]

[pic]

Уравнение для функции Грина [pic] и [pic]

где [pic]

(5)

[pic] - ур. Дайсона. (6)

[pic]

Функция Грина [pic]описывает однородный материал со средними

характеристиками определяемые по правилу смесей (2), а оператор [pic]

можно назвать оператором возмущения, поскольку он определяет форму и

расположение неоднородностей.

Решим уравнение итерациями

[pic]

Вычислим сначала [pic]

[pic]

Здесь [pic] [pic] [pic] [pic]

[pic]

[pic]

[pic] [pic] [pic] [pic] (7)

Теперь определим

[pic]

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

Теперь необходимо вычислить

[pic]

[pic]

[pic]

Таким образом

[pic]

(8)

Подставляем в (6) равенство (8)

[pic]

[pic], где [pic] и [pic]

(9)

Подставляем (5) в (9)

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

где [pic] и [pic]

[pic]

(10)

[pic] (11)

где [pic] , [pic]

(12)

[pic]

[pic]

[pic]

[pic][pic]

[pic]

[pic] (13)

1. Ограничимся первым приближением

`[pic][pic] [pic]

[pic] [pic] [pic]

(14)

[pic]

[pic]

Рассмотрим:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic] (15)

2. Ограничимся вторым приближением

[pic] [pic]

(16)

[pic]

[pic] [pic]

(17)

Из (12) найдем:

[pic] (18)

Подставляя (18) с учетом (16) в (10), получим:

[pic] (19)

Теперь подставляем (19) с учетом (16) в (13), получим:

[pic][pic]

[pic]

Коэффициентами при [pic], [pic] из-за малости произведения пренебрегаем

А коэффициенты без [pic]обращаются в [pic] из-за (14)

[pic] подставляя (17), найдем

[pic] (20)

Подставляя (18) в (11) с учетом (16), получим:

[pic] (21)

Теперь подставляем (21) с учетом (16) в (13), получим:

[pic]

[pic]

Коэффициентами при [pic], [pic] из-за малости произведения пренебрегаем

А коэффициенты без [pic]обращаются в [pic] из-за (15)

[pic]

[pic] (22)

3. Ограничимся третьим приближением

[pic] [pic] (23)

Подставляя (18) с учетом (23) в (10), получим:

[pic] (24)

Теперь подставляем (24) с учетом (23) в (13), получим

[pic]

[pic]

[pic]

Коэффициентами при [pic] ,[pic], [pic] из-за малости произведения

пренебрегаем

А коэффициенты без [pic]обращаются в [pic] из-за (14), а с[pic]- из-за

(18)

[pic]

[pic] (25)

Подставляя (18) в (11) с учетом (23), получим:

[pic] (26)

Теперь подставляем (26) с учетом (23) в (13), получим:

[pic]

[pic]

Коэффициентами при [pic] ,[pic], [pic] из-за малости произведения

пренебрегаем

А коэффициенты без [pic]обращаются в [pic] из-за (15), а с[pic]- из-за (22)

[pic]

[pic] (27)

Анализ [pic] и [pic] показывает, что [pic] и [pic] дейсвительные

коэффициенты, а [pic]- мнимые.

Список литературы:

1. Т. Д. Шермергор “Теория упругости микронеоднородных сред” М., “Наука”,

1977.

2. Г.А. Шаталов “Эффективные характеристики изотропных композитов как

задача многих тел”

МКМ, №1, 1985.