Методика оптимизации библиотечной системы обслуживания

Рис. 1.4 - Простейший поток событий

Рассмотрим на оси [pic] простейший поток событий [pic](рис. 1.4) как

неограниченную последовательность случайных точек. Выделим произвольный

интервал времени длиной [pic]. Как уже отмечалось, если поток событий

является простейшим, то число событий, попадающих на интервал т,

распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием

[pic]

(1.18)

где [pic]- плотность потока.

В соответствии с законом Пуассона вероятность того, что за время [pic]

произойдет ровно т событий, равна

[pic]

(1.19)

Тогда вероятность того, что не произойдет ни одного события, будет

[pic]

(1.20)

Отсюда вероятность того, что за время [pic] произойдет хотя бы одно

событие, равна

[pic]

(1.21)

Важной характеристикой потока является закон распределения длин интервалов

между событиями. Пусть [pic] - случайная длина интервала времени между

двумя произвольными соседними событиями в простейшем потоке (рис. 1.4) и

[pic] - искомый закон распределения продолжительности временного интервала

между последовательными событиями. С другой стороны, вероятность

[pic]может быть интерпретирована как вероятность появления хотя бы одного

события в течение временного интервала продолжительностью t, начинающегося

в момент поступления в систему некоторого события.

Поскольку простейший поток не обладает последействием, наличие события

в начале интервала t не оказывает никакого влияния на вероятность появления

событий в дальнейшем. Поэтому вероятность[pic] может быть вычислена по

формуле

[pic]

(1.22)

откуда, имея в виду (1.20),

[pic]

(1.23)

Дифференцируя (1.23), находим плотность распределения длин интервалов между

последовательными событиями

[pic]

(1.24)

Закон распределения с плотностью (1.24) называется показательным с

параметром ?.

1.3.3 Время обслуживания

Как уже отмечалось, эффективность системы обслуживания зависит не

только от характеристик входящего потока, но и от производительности самой

системы обслуживания, т. е. от числа каналов и быстродействия каждого из

них. В связи с этим время обслуживания одной заявки Тоб является важной

характеристикой системы, В силу самых различных причин время обслуживания в

реальных системах может меняться от одного требования к другому. Поэтому в

общем случае разумно считать время обслуживания случайной величиной.

Введем закон распределения времени обслуживания

[pic]

(1.25)

и плотность его распределения

[pic]

(1.26)

Для практики особый интерес представляет случай, когда продолжительность

времени обслуживания имеет показательный закон распределения, т. е.

[pic]

(1.27)

Параметр [pic] имеет простой физический смысл. Величина, обратная [pic],

равна математическому ожиданию времени обслуживания.

Важная роль, которую играет показательный закон времени обслуживания,

связана с уже упоминавшимся свойством этого закона. Применительно к данному

случаю оно формулируется следующим образом: если в какой-то момент

происходит обслуживание требования, то закон распределения оставшегося

времени обслуживания не зависит от того, сколько времени обслуживание уже

продолжалось.

Таким образом, процесс обслуживания заявок не обладает последействием и

поэтому для его анализа может быть использован аппарат теории марковских

процессов.

Показательный закон распределения времени обслуживания имеет место во

многих практических задачах, когда обслуживание сводится к

последовательности попыток, каждая из которых приводит к необходимому

результату с некоторой вероятностью.

Примером такого обслуживания является обстрел цели, заканчивающийся

после поражения цели. Предположим, что последовательность выстрелов, каждый

из которых поражает цель с вероятностью [pic], образует простейший поток с

плотностью [pic].

Из этого потока выделим поток успешных выстрелов (выстрел будем называть

успешным, если имеет место попадание в цель). Поскольку каждый из выстрелов

независимо от других может оказаться успешным, поток успешных выстрелов так

же, как и исходный, будет простейшим с плотностью [pic].

Закон распределения интервала времени между попаданиями имеет вид

[pic]

(1.28)

откуда плотность распределения времени обслуживания

[pic]

(1.29)

что соответствует показательному закону с параметром [pic].

Количество примеров реальных систем, в которых обслуживание сводится к

последовательности попыток, можно значительно увеличить. К такому типу

можно отнести обслуживание по устранению неисправностей технических

устройств, когда поиск неисправного элемента ведется путем использования

ряда тестов. Совершенно аналогичной является задача обслуживания,

заключающаяся в обнаружении воздушной цели радиолокатором, многократно

зондирующим исследуемое пространство, причем цель может с некоторой

вероятностью обнаруживаться в каждом из циклов обзора.

Поскольку показательный закон распределения вполне приемлемым образом

соответствует большому количеству реальных систем обслуживания, а также в

связи с тем, что основные характеристики систем обслуживания зависят,

главным образом, не от вида закона распределения, а от среднего значения

времени обслуживания, в практических исследованиях обычно используется

допущение о показательности закона распределения времени обслуживания.

Важно также, что эта гипотеза позволяет существенно упростить

математический аппарат, применяемый для анализа систем массового

обслуживания.

1.3.4 Основные типы систем массового обслуживания и показатели

эффективности их функционирования

Важным признаком классификации систем массового обслуживания является

поведение поступившего в систему требования в ситуации, когда все

обслуживающие аппараты заняты. При этом в одних случаях требование не может

ждать момента освобождения системы обслуживания и покидает ее не

обслуженным. Требование, поступившее в систему обслуживания и получившее

отказ, потеряно для системы. Поэтому такие системы обслуживания называют

системами с отказами или системами с потерями.

В других случаях требование может более или менее долго ожидать начала

обслуживания, т. е. момента освобождения одного из обслуживающих аппаратов

системы. Совокупность таких требований образует очередь. Если при этом

время ожидания для каждого из требований не ограничено, система

обслуживания называется чистой системой с ожиданием или системой без

потерь. В противном случае, когда это время ограничено какими-либо

условиями, систему называют системой обслуживания смешанного типа. Характер

ограничений в системах смешанного типа может быть различным. Во многих

случаях ограничение накладывается на продолжительность ожидания в очереди,

т. е. каждое из поступивших требований покидает систему, если обслуживание

не началось до определенного момента времени, однако начатое обслуживание

доводится до конца. В других случаях более естественным является наложить

ограничение сверху на общее время пребывания требования и системе. Наконец,

ограничение может быть наложено на длину очереди, т. е. требование

становится в очередь и ожидает обслуживания только в том случае, если длина

очереди (число ожидающих требований) не слишком велика.

Естественным критерием эффективности системы обслуживания с отказами

является вероятность отказа в обслуживании (вероятность потери требования).

Так как отказ происходит только в том случае, когда все обслуживающие

аппараты заняты, соответствующие вероятности равны между собой.

Степень загрузки системы обслуживания с отказами характеризует закон

распределения числа занятых аппаратов. Во многих случаях для характеристики

эффективности системы обслуживания с отказами достаточно указать среднее

число занятых аппаратов.

В системе обслуживания без потерь требование находится до тех пор,

пока не будет, закончено его обслуживание. Исходя из этого, могут быть

сформулированы основные критерии эффективности функционирования таких

систем. Это, прежде всего, длина очереди. Поскольку число требований,

ожидающих начала обслуживания в очереди, случайно, наиболее полной

характеристикой этой величины является закон ее распределения. Знание этого

закона позволяет рассчитать среднее число требований, ожидающих

обслуживания, вероятность того, что длина очереди превысит заданную и т.д.

Другим важным критерием для оценки эффективности таких систем является

время ожидания начала обслуживания, наиболее полно характеризуемое своим

законом распределения. С использованием этого закона может быть вычислено

среднее значение времени ожидания, вероятность того, что обслуживание будет

начато в течение некоторого заданного интервала времени и т. п. Наконец,

характеристикой таких систем является закон распределения числа аппаратов,

занятых обслуживанием, позволяющий рассчитать среднее число занятых

аппаратов, вероятность занятости числа аппаратов, превышающее заданное, и

т. п.

Для оценки эффективности систем обслуживания смешанного типа могут

быть использованы все перечисленные выше критерии. Кроме них, используются

и некоторые специфические критерии. Например, для системы, в которой

ограничено общее время пребывания требования в системе, определенный

интерес представляет расчет времени, затраченного на обслуживание

требований, которые покидают систему до момента окончания их обслуживания.

Если частичное обслуживание не обеспечивает решения задачи обслуживания, то

имеют место непроизводительные потери, учет которых характеризует

эффективность системы.

Все перечисленные критерии в той или иной степени информативно

характеризуют приспособленность рассматриваемой системы для выполнения

поставленных перед ней задач. Анализ численных значений критериев позволяет

сделать выводы относительно реальной эффективности системы и выработать

рекомендации по ее повышению.

1.3.5 Система массового обслуживания с ожиданием

Как уже отмечалось, система массового обслуживания называется системой

с ожиданием, если заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в

очередь. В таких системах важную роль играет так называемая «дисциплина

очереди». Ожидающие в очереди заявки могут поступать на обслуживание как в

порядке очереди, так и в случайном порядке. Существуют системы массового

обслуживания с приоритетом, когда некоторые выделяемые по какому-либо

признаку заявки обслуживаются в первую очередь.

Каждый тип системы с ожиданием имеет свои особенности и свою

математическую теорию. Здесь будет рассмотрен один из самых простых

вариантов смешанной системы обслуживания, часто встречающийся на практике.

Пусть на вход n-канальной системы обслуживания поступает простейший

поток требований с плотностью [pic]. Время обслуживания каждой из заявок

[pic] распределено по показательному закону с параметром [pic]. Заявка,

заставшая все каналы системы занятыми, становится в очередь и ожидает

обслуживания. Время ожидания [pic] будем считать случайным и распределенным

по показательному закону

[pic]

(1.30)

где параметр [pic] - величина, обратная среднему времени ожидания, т. е.

[pic]

Благодаря допущениям о том, что входящий поток является простейшим, а

распределения времени обслуживания и времени ожидания — показательные,

процесс функционирования системы является марковским.

Перечислим состояния системы. Будем нумеровать их не по числу занятых

каналов, как это сделано ранее, а по числу заявок, связанных с системой.

При этом будем заявку называть связанной с системой, если она либо

обслуживается, либо ожидает в очереди. Возможные состояния системы:

[pic]- свободны все каналы, очереди нет,

[pic] - занят ровно один канал, очереди нет,

…………………………………………………….

[pic] - занято ровно k каналов, очереди нет,

[pic]- заняты все п каналов, очереди нет,

[pic] заняты вес п каналов, одна заявка стоит в очереди,

…………………………………………………….

[pic] - заняты все п каналов, s заявок - в очереди.

Вероятность нахождения системы в перечисленных состояниях находится по

формуле:

[pic]

(1.31)

где [pic]- среднее число заявок приходящихся на среднее время обслуживания

одной заявки;

[pic]- среднее число ухода заявок, стоящих в очереди, приходящихся на

среднее время обслуживания одной заявки;

1.4 Метод статистических испытаний

Специфическая идеология имитационного моделирования реализуется в

методе статистических испытаний (его часто называют методом Монте-Карло).

Основная идея метода статистических испытаний состоит в том, что

вероятностные характеристики различных сложных случайных процессов,

описывающих функционирование систем, могут быть рассчитаны с помощью

имитационных моделей даже в тех случаях, когда аналитически это сделать не

представляется возможным или затруднительно. Рассмотрим простой пример.

Пусть зависимость условной вероятности продажи [pic] некоторого товара

от его цены [pic] описывается соотношением

[pic].

(1.32)

Пусть, кроме того, цена продажи – случайная величина, распределенная в

соответствии с усеченным нормальным законом с математическим ожиданием

[pic] и дисперсией [pic]. Тогда безусловная вероятность продажи будет равна

[pic], (1.33)

где

[pic]-нормирующая константа.

Полученный интеграл в квадратурах не вычисляется. Вместе с тем,

искомая вероятность [pic] может быть легко оценена методом статистических

испытаний. Технология расчета [pic] такова.

Кривая [pic] изображена на рис. 1.5.

Здесь абсцисса [pic] выбрана так, чтобы значение [pic] было достаточно

малым (например, 0,001), а ордината [pic] равна [pic]. Теперь понятно, что

расчет [pic] эквивалентен вычислению площади [pic] под кривой [pic] при

[pic].

Рис. 1.5 - Кривая [pic].

Пусть в прямоугольнике с координатами вершин (0,0), (0,b), (a,0),

(a,b) формируется точка, координаты которой случайны и независимы, причем

абсцисса равномерно распределена в [pic], а ордината равномерно

распределена в [pic]. Ясно, что вероятность попадания этой точки в область

под кривой [pic] равна площади под кривой, то есть искомой вероятности

[pic]. С другой стороны эту вероятность легко оценить, если провести [pic]

испытаний, подсчитать количество [pic] попаданий точки в область под кривой

и вычислить отношение [pic]. Легко показать, что оценка [pic] является

несмещенной и состоятельной оценкой [pic]. В самом деле, введем индикатор

[pic]

Очевидно, что [pic].

Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины

[pic].

[pic]. (1.34)

Следовательно, оценка [pic] вероятности [pic] является несмещенной.

[pic]

[pic]. (1.35)

Так как [pic], то оценка [pic] - состоятельна.

Заметим, что последнее соотношение может быть использовано для

расчета числа опытов, необходимых для получения оценок статистических

характеристик с заданной точностью.

Действительно, если вероятность какого-либо события нужно оценить

так, чтобы дисперсия оценки не превосходила [pic], то требуемое число

опытов определяется неравенством [pic].

Таким образом, для расчета искомой вероятности достаточно иметь

датчики равномерно распределенных случайных величин.

Эта же технология может быть использована для создания ИМ сложных

экономико-организационных систем.

2 Имитационная модель библиотечной системы Обслуживания

2.1 Описание системы обслуживания

В библиотеке ХГЗВА предоставляются информационные услуги. Для

читателей установлен 1 компьютер. На этом компьютере читатели могут войти

во всемирную сеть Internet, чтобы получить актуальную информацию о

конференциях, выставках, обществах, клиниках, магазинах, вузах, колледжах

ветеринарного профиля. Также читатели заинтересованы в поиске

полнотекстовых документов: научных статей, публикаций законов и т.п.

На этом компьютере можно воспользоваться поиском в электронном

каталоге библиотечного фонда ХГЗВА. Данную возможность предоставляет

внедренная АИБС “Liber”. Читатель заполняет поисковую форму в соответствии

со своими потребностями. Результатом такого поиска является

библиографическое описание найденных по запросу книг и их библиотечный

шифр.

На компьютере установлен CD-Rom. Это позволяет читателям пользоваться

программами обучающего характера.

Данные информационные услуги предоставляются бесплатно. В связи с этим

наблюдается большое число желающих воспользоваться данными услугами. На

возможность максимального удовлетворения информационных потребностей влияет

5 факторов:

1. время работы библиотеки;

2. количество компьютеров, обслуживающих читателей;

3. количество читателей;

4. время обслуживания читателя;

5. время ожидания читателем;

Из перечисленных факторов представляется возможным регулирование

количества компьютеров и определение среднего времени обслуживания.

2.2 Сбор и обработка статистических данных о характере обслуживания

Для того чтобы оптимизировать работу данной библиотеки, я вместе с

библиотекарями произвел статистическую выборку. В течение 2 недель с

понедельника по субботу (12 дней) строго с 8-00 до 17-00 мы записывали

следующую информацию о читателях, которые хотели воспользоваться

информационными услугами:

1. время появления;

2. время обслуживания;

3. время ожидания;

В результате обработки данных я получил следующие данные о читателях

(см. табл.1, 2, 3).

Табл. 2.1 - Появление читателей

|0 |0 |Поступление очередной заявки |0 |0 |

|1 |1 |Освобождение 1-го канала |0 |1 |

|2 |1 |Освобождение 2-го канала |0 |1 |

|… |… |… |… |… |

|[pic] |1 |Освобождение [pic]-го канала |0 |1 |

|n+1 |2 |Уход из очереди 1-й заявки |0 |1 |

|… |… |… |… |… |

|n+m |2 |Уход из очереди m-й заявки |0 |1 |

В соответствии с логикой работы имитационной модели её алгоритм

состоит из трех модулей: модуля 0, реализующего действия, инициируемые

поступлением в систему очередной заявки (событие типа 0), модуля 1,

реализующего действия, которые необходимо осуществить в связи с

освобождением канала (событие типа 1), модуля 2, реализующего действия,

которые необходимо осуществить в связи с уходом из очереди m-й заявки

Страницы: 1, 2, 3