Методология и методы принятия решения

общие свойства модели и ее решений. В частности, важным моментом является

доказательство существования решения сформулированной задачи. При

аналитическом исследовании выясняется, единственно ли решение, какие

переменные могут входить в решение, в каких пределах они изменяются, каковы

тенденции их изменения и т.д. Однако модели сложных экономических объектов

с большим трудом поддаются аналитическому исследованию; в таких случаях

переходят к численным методам исследования.

3.2.4. Подготовка исходной информации.

В экономических задачах это, как правило, наиболее трудоемкий этап

моделирования, так как дело не сводится к пассивному сбору данных.

Математическое моделирование предъявляет жесткие требования к системе

информации; при этом надо принимать во внимание не только принципиальную

возможность подготовки информации требуемого качества, но и затраты на

подготовку информационных массивов. В процессе подготовки информации

используются методы теории вероятностей, теоретической и математической

статистики для организации выборочных обследований, оценки достоверности

данных и т.д. При системном экономико-математическом моделировании

результаты функционирования одних моделей служат исходной информацией для

других.

3.2.5. Численное решение.

Этот этап включает разработку алгоритмов численного решения задачи,

подготовку программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов;

при этом значительные трудности вызываются большой размерностью

экономических задач. Обычно расчеты на основе экономико-математической

модели носят многовариантный характер. Многочисленные модельные

эксперименты, изучение поведения модели при различных условиях возможно

проводить благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ. Численное

решение существенно дополняет результаты аналитического исследования, а для

многих моделей является единственно возможным.

3.2.6. Анализ численных результатов и их применение.

На этом этапе, прежде всего, решается важнейший вопрос о правильности и

полноте результатов моделирования и применимости их как в практической

деятельности, так и в целях усовершенствования модели. Поэтому в первую

очередь должна быть проведена проверка адекватности модели по тем

свойствам, которые выбраны в качестве существенных (другими словами, должны

быть произведены верификация и валидация модели). Применение численных

результатов моделирования направлено на решение практических задач.

Перечисленные этапы экономико-математического моделирования находятся в

тесной взаимосвязи, в частности, могут иметь место возвратные связи этапов.

Так, на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи или

противоречива, или приводит к слишком сложной математической модели; в этом

случае исходная постановка задачи должна быть скорректирована. Наиболее

часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования

возникает на этапе подготовки исходной информации. Если необходимая

информация отсутствует или затраты на ее подготовку слишком велики,

приходится возвращаться к этапам постановки задачи и ее формализации, чтобы

приспособиться к доступной исследователю информации.

Выше уже сказано о циклическом характере процесса моделирования.

Недостатки, которые не удается исправить на тех или иных этапах

моделирования, устраняются в последующих циклах. Однако результаты каждого

цикла имеют и вполне самостоятельное значение. Начав исследование с

построения простой модели, можно получить полезные результаты, а затем

перейти к созданию более сложной и более совершенной модели, включающей в

себя новые условия и более точные математические зависимости.

Понятие “модель” и “моделирование”.

С понятием “моделирование экономических систем” (а также математических

и др.) связаны два класса задач:

1) задачи анализа, когда система подвергается глубокому изучению ее

свойств, структуры и параметров, то есть исследуется предметная

область будущего моделирования.

2) Задачи, связанные с задачами синтеза (получения ЭММ данной системы).

Модель – изображение, представление объекта, системы, процесса в

некоторой форме, отличной от реального существования.

Различают физическое и математическое моделирование.

Таблица 4 Классификация моделей.

Модели

Этапы практического моделирования.

1) Анализ экономической системы, ее идентификация и определение

достаточной структуры для моделирования.

2) Синтез и построение модели с учетом ее особенностей и математической

спецификации.

3) Верификация модели и уточнение ее параметров

4) Уточнение всех параметров системы и соответствие параметров модели, их

необходимая валидация (исправление, корректирование).

Этап подгонки модели многократный.

Таблица 5 Формальная классификация моделей.

|Признак классификации |Модель |

|1. Целевое назначение |Прикладные, теоретико-аналитические |

|2. По типу связей |Детерминированные, стохастические |

|3. По фактору времени |Статические, динамические |

|4. По форме показателей |Линейные, нелинейные |

|5. По соотношению экзогенных и |Открытые, закрытые |

|эндогенных переменных | |

|6. По типу переменных |Дискретные, непрерывные, смешанные |

|7. По степени детализации |Агрегированные (макромодели), |

| |детализированные (микромодели) |

|8. По количеству связей |Одноэтапные, многоэтапные |

|9. По форме представления |Матричные, сетевые |

|информации | |

|10. По форме процесса |Аналитические, графические, логические |

|11. По типу математического |Балансовые, статистические, |

|аппарата |оптимизационные, имитационные, |

| |смешанные |

3.3. Классификация экономико-математических методов и моделей

Суть экономико-математического моделирования заключается в описании

социально-экономических систем и процессов в виде экономико-математических

моделей. Выше кратко рассмотрен смысл понятий «метод моделирования» и

«модель». Исходя из этого экономико-математические методы следует понимать

как инструмент, а экономико-математические модели — как продукт процесса

экономико-математического моделирования.

Рассмотрим вопросы классификации экономико-математических методов. Эти

методы представляют собой комплекс экономико-математических дисциплин,

являющихся сплавом экономики, математики и кибернетики. Поэтому

классификация экономико-математических методов сводится к классификации

научных дисциплин, входящих в их состав. Хотя общепринятая классификация

этих дисциплин пока не выработана, с известной степенью приближения в

составе экономико-математических методов можно выделить следующие разделы:

• экономическая кибернетика: системный анализ экономики, теория

экономической информации и теория управляющих систем;

• математическая статистика: экономические приложения данной дисциплины

— выборочный метод, дисперсионный анализ, корреляционный анализ,

регрессионный анализ, многомерный статистический анализ, факторный анализ,

теория индексов и др.;

• математическая экономия и изучающая те же вопросы с количественной

стороны эконометрия: теория экономического роста, теория производственных

функций, межотраслевые балансы, национальные счета, анализ спроса и

потребления, региональный и пространственный анализ, глобальное

моделирование и др.;

• методы принятия оптимальных решений, в том числе исследование операций

в экономике. Это наиболее объемный раздел, включающий в себя следующие

дисциплины и методы: оптимальное (математическое) программирование, в том

числе методы ветвей и границ, сетевые методы планирования и управления,

программно-целевые методы планирования и управления, теорию и методы

управления запасами, теорию массового обслуживания, теорию игр, теорию и

методы принятия решений, теорию расписаний. В оптимальное (математическое)

программирование входят в свою очередь линейное программирование,

нелинейное программирование, динамическое программирование, дискретное

(целочисленное) программирование, дробно-линейное программирование,

параметрическое программирование, сепарабельное программирование,

стохастическое программирование, геометрическое программирование;

• методы и дисциплины, специфичные отдельно как для централизованно

планируемой экономики, так и для рыночной (конкурентной) экономики. К

первым можно отнести теорию оптимального функционирования экономики,

оптимальное планирование, теорию оптимального ценообразования, модели

материально-технического снабжения и др. Ко вторым — методы, позволяющие

разработать модели свободной конкуренции, модели капиталистического цикла,

модели монополии, модели индикативного планирования, модели теории фирмы и

т.д. Многие из методов, разработанных для централизованно планируемой

экономики, могут оказаться полезными и при экономико-математическом

моделировании в условиях рыночной экономики;

• методы экспериментального изучения экономических явлений. К ним

относят, как правило, математические методы анализа и планирования

экономических экспериментов, методы машинной имитации (имитационное

моделирование), деловые игры. Сюда можно отвести также и методы экспертных

оценок, разработанные для оценки явлений, не поддающихся непосредственному

измерению. Перейдем теперь к вопросам классификации экономико-

математических моделей, другими словами, математических моделей социально-

экономических систем и процессов. Единой системы классификации таких

моделей в настоящее время также не существует, однако обычно выделяют более

десяти основных признаков их классификации, или классификационных рубрик.

Рассмотрим некоторые из этих рубрик.

По общему целевому назначению экономико-математические модели делятся на

теоретико-аналитические, используемые при изучении общих свойств и

закономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в

решении конкретных экономических задач анализа, прогнозирования и

управления.

По степени агрегирования объектов моделирования модели разделяются на

макроэкономические и микроэкономические. Хотя между ними и нет четкого

разграничения, к первым из них относят модели, отражающие функционирование

экономики как единого целого, в то время как микроэкономические модели

связаны, как правило, с такими звеньями экономики, как предприятия и фирмы.

Экономико-математические модели могут классифицироваться также по

характеристике математических объектов, включенных в модель, другими

словами, по типу математического аппарата, используемого в модели. По этому

признаку могут быть выделены матричные модели, модели линейного и

нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные модели, модели

теории массового обслуживания, модели сетевого планирования и управления,

модели теории игр и т.д.

4. Метод линейного программирования в задачах оптимизации плана

производства

Линейное программирование – это метод выбора не отрицательных значений

переменных минимизирующих или максимизирующих значения линейной целевой

функции, при наличии ограничений.

При небольшой размерности переменных до 10-ти в задачах линейного

программирования (ЛП) используются итерационные процедуры ввиде конечного

числа шагов, пи решении системы линейных уравнений, которые получили

название симплексный метод.

Симплекс – многогранник.

Симплексный метод – это совокупность итерации, совершаемая ЛПР от

отправного наихудшего варианта целевой функции к экстремальному значению

целевой функции, при заданной системе ограничений; в качестве экстремума

минимальное или максимальное значение целевой функции. При этом целевая

функция и задача ЛП обладают свойством двойственности (т.е. минимум целевой

функции может быть всегда заменен максимумом, путем смены знаков самой

целевой функции).

Использование графического способа удобно только при решении задач ЛП

с двумя переменными. При большем числе переменных необходимо применение

алгебраического аппарата. Рассмотрим общий метод решения задач ЛП,

называемый симплекс-методом.

Информация, которую можно получить с помощью симплекс-метода, не

ограничивается лишь оптимальными значениями переменных. Симплекс-метод

фактически позволяет дать экономическую интерпретацию полученного решения и

провести анализ модели на чувствительность.

Процесс решения задачи линейного программирования носит итерационный

характер: однотипные вычислительные процедуры в определенной

последовательности повторяются до тех пор, пока не будет получено

оптимальное решение. Процедуры, реализуемые в рамках симплекс-метода,

требуют применения вычислительных машин - мощного средства решения задач

линейного программирования.

Симплекс-метод - это характерный пример итерационных вычислений,

используемых при решении большинства оптимизационных задач.

Рассмотрим использование симплексного метода ЛП на примере задач

оптимизации плана производства.

Пример №1:

Условие задачи (постановка):

Найти план производства предприятия обеспечивающий максимум прибыли.

Предприятие производит два вида продукции в трех цехах:

А 80

Б 60

В 100

Установлено соответственно: 80;60 и 100 единиц оборудования.

Нормы использования оборудования для производства за 1 час единицы

продукции представлены в таблице в машино/часах:

| |ВИДЫ ПРОДУКЦИИ |

|ЦЕХ | |

| |1 |2 |

|А |4 |2 |

|Б |1 |3 |

|В |2 |3 |

Прибыль первого вида продукции 10 рублей

Прибыль единицы второй продукции 8 рублей

Требуется определить объем выпуска первого и второго вида продукции

доставляющего максимум прибыли.

Решение:

1. Составляем модель.

Пусть х1 искомый объем (1 продукции первого вида;

х2 - (2 объем выпуска второго вида продукции.

Цель: максимальная прибыль.

Модель:

10х1 – прибыль от реализации ( первого вида продукции

8х2 – прибыль от реализации ( второго вида.

Целевая функция L(х1х2) = С1х1 + С2х2 = 10х1 + 8х2

С1 = 10; С2 = 8 – коэффициенты при переменных в целевой функции.

Планируемое использование машин по цехам не должно превышать наличие

этого оборудования в цехах (по цехам) ( отсюда система неравенств.

А – 4х1 + 2х2 ( 80 ограничение по

Б – 1х1 + 3х2 ( 60 использованию

В – 2х1 + 3х2 ( 100 оборудования,

условие не отрицательности.

х1 ( 0; х2 ( 0.

Для решения задачи симплексным методом в условиях ограничений

принимается работа каждой машины в цехе в машино/часах.

Система неравенств приводится к каноническому виду, путем добавления

дополнительных переменных и перевода неравенств в уравнение:

4х1 + 2х2 + х3 ( 80

х1 + 3х2 + х4 ( 60

2х1 + 3х2 + х5 ( 100

Переведем систему неравенств в уравнение:

х3 = 80 – (4х1 + 2х2) сколько машин

х4 = 60 – (х1 + 3х2) нужно

х5 = 100 – (2х1 + 3х2) (машино/часов)

Дополнительные переменные должны быть введены в целевую функцию,

которая будет иметь вид:

L(х1х2) = С1х1 + С2х2 + С3х3 + С4х4 + С5х5 = 10х1 + 8х2 + 0х3 + 0х4 +

0х5

стремится к максимуму

х1 ( 0; х2 ( 0; х3 = 0; х4 = 0; х5 = 0.

Выразим х3; х4 и х5 через х1 и х2

х3 = 80 – 4х1 - 2х2

х4 = 60 – х1 - 3х2

х5 = 100 – 2х1 - 3х2

Модель составлена и в этой модели имеются: х1; х2 – независимые

(свободные) переменные; х3; х4; х5 – базисные переменные.

По составленной модели используют итерационные процедуры метода,

составим альтернативные варианты решения системы уравнений с пятью

неизвестными.

Первым решением будет х1 = 0; х2 = 0; х3 = 80; х4 = 60; х5 = 100.

Целевая функция будет равняться: L=10*0 + 8*0 + 0*80 + 0*60 + 0*100=0

Используя систему уравнений, составим отправную таблицу:

| | | |10 = С1 |8 = С2 |0 = С3 |0 = С4 |0 = С5 |

|Сб |Хб |В | | | | | |

| | | |Х1 |Х2 |Х3 |Х4 |Х5 |

|0 |Х3 |80 |4 |2 |1 |0 |0 |

|0 |Х4 |60 |1 |3 |0 |1 |0 |

|0 |Х5 |100 |2 |3 |0 |0 |1 |

|Zj - Сj |Z0 = 0 |-10 |-8 |0 |0 |0 |

Ключевой столбец Генеральный элемент

Ключевая строка

В отправной симплексной таблице введены следующие значения:

Сб – коэффициенты при базисных переменных целевой функции.

Хб - базисные переменные.

В - столбец свободных членов.

Zj - определяется как сумма попарных произведений коэффициентов Сб на

элементы столбца В.

Z0 = 0*80+0*60+0*100 = 0

Сj - коэффициент целевой функции при переменной.

Zj - Сj - индексная строка.

Z1 – С1 ( Z1 = 0*4+0*1+0*2-10 = -10

Z2 = 0*2+0*3+0*3-8 = -8

Получение второго базисного решения, и решения вообще, надо

преобразовать, первую таблицу во вторую получив улучшенное (решение)

значения.

Z - значение целевой функции для данного решения.

Правила определения оптимального решения:

- Полученное значение в симплексной таблице целевой функции считается

максимальным (минимальным), если в индексной строке (последней) нет ни

одного значения меньше (максимального) 0;

- Если нет ни одного значения больше 0 (минимальное);

- Наибольшее по абсолютной величине отрицательное число в индексной

строке указывает на новую базисную переменную (в нашем случае это (–

10) х1).

- Определение старой базисной переменной, которая должна в новом решении

уступить место новой базисной переменной, производится следующем

образом:

свободные члены столбца В делятся на коэффициенты столбца при новой

базисной переменной и минимальное значение в столбце укажет номер старой

базисной переменной.

80/4=20; 60/1=60; 100/2=50.

Составляем вторую базисную таблицу:

| | | |3 = С1 |2 = С2 |0 = С3 |0 = С4 |0 = С5 |

|Сб |Хб |В | | | | | |

| | | |Х1 |Х2 |Х3 |Х4 |Х5 |

|4 |Х1 |20 |1 |Ѕ |4 |0 |0 |

|0 |Х4 |40 |0 |5/2 |-1/4 |1 |0 |

|0 |Х5 |60 |0 |2 |-1/2 |0 |1 |

|Zj – Сj |Z = 200 |0 |-3 |5/2 |0 |0 |

Столбец новой базисной переменной называется ключевым столбцом. Строка

куда попадает новая базисная переменная, называется ключевой строкой. На

пересечении ключевой строки и ключевого столбца стоит генеральный элемент.

Правила заполнения таблиц после отправной:

1) Старый ключевой столбец переписывают в новую таблицу в виде нулей,

кроме элемента стоящего на пересечении ключевого столбца и ключевой

строки, здесь ставится единица – этот элемент называется генеральным.

2) Элементы новой строки соответствующие старой ключевой строке находятся

путем деления элементов старой ключевой строки на генеральный элемент.

3) Столбцы старой таблицы, содержащие в ключевой строке ноль,

переписываются в новую таблицу без изменения.

4) Все остальные элементы новой таблицы определяются расчетом по формуле:

Новый элемент = старый элемент – Элемент ключевой стоки * элемент

ключевого столбца / генеральный элемент.

Для столбца свободных членов (В):

60-80*1/4=60-20=40

100-80*2/4=100-40=60

Для столбца х2 по тому же правилу:

3-2*1/4=3-1/2=5/2

3-2*2/4=3-1=2

Для столбца х3:

0-1*1/4=0-1/4=-1/4

0-1*2/4=0-1/2=-1/2

Определяем индексную строку:

0-80*(-10)/4=0+200=200=Z

-8-2*(-10)/4=-8-(-5)=-3

0-1*(-10)/4=0-(-5/2)=5/2

Определяем ключевой столбец таблицы №2 и ключевую строку используем ранее

изложенные правила.

Используя правила выделяем генеральный элемент и определяем новую

базисную переменную, так как в индексной строке есть отрицательный элемент

и решение нуждается в улучшении.

Х4 заменит Х2

Составляем третью таблицу:

| | | |3 = С1 |2 = С2 |0 = С3 |0 = С4 |0 = С5 |

|Сб |Хб |В | | | | | |

| | | |Х1 |Х2 |Х3 |Х4 |Х5 |

|4 |Х1 |12 |1 |0 |81/20 |-1/5 |0 |

|5/2 |Х2 |16 |0 |1 |-1/10 |5/2 |0 |

|0 |Х5 |28 |0 |0 |-3/10 |-4/5 |1 |

|Zj – Сj |Z = 248 |0 |0 |11/5 |6/5 |0 |

40/5/2=40*8/5=16; -1/4/5/2= -1/10

Для столбца свободных членов (В):

20-40*1/2 / 5/2=20-8=12; 60-40*2 / 5/2=60-32=28

Для столбца х3:

4-(-1/4)*1/2 / 5/2=4+1/20=81/20; -1/2-(-1/4)*2 / 5/2=-1/2+1/5=-

3/10

Для столбца х4 по тому же правилу:

0-1*1/2 / 5/2=0-1/5=-1/5; 0-1*2 / 5/2=0-4/5=-4/5

Определяем индексную строку:

200-40*(-3) / 5/2=200+40*3*2/5=200+48=248=Z

5/2-(-1/4)*(-3) / 5/2=5/2-3/10=22/10=11/5

0-1*(-3) / 5/2=0+6/5=6/5

Из таблицы №3 видно, что в индексной строке отсутствуют отрицательные

значения и, следовательно, невозможно дальнейшее назначение итерационных

процедур. Полученное значение прибыли Z0 = 248 рублей прибыли в час,

является оптимальным.

Пример №2:

Условие задачи (постановка):

Найти план производства предприятия обеспечивающий максимум прибыли.

Предприятие производит два вида продукции в трех цехах:

А 28

Б 20

В 10

Установлено соответственно: 28;20 и 10 единиц оборудования.

Нормы использования оборудования для производства за 1 час единицы

продукции представлены в таблице в машино/часах:

| |ВИДЫ ПРОДУКЦИИ |

|ЦЕХ | |

| |1 |2 |

|А |3 |2 |

|Б |2 |1 |

|В |1 |0 |

Прибыль первого вида продукции 4 рубля

Прибыль единицы второй продукции 2 рубля

Требуется определить объем выпуска первого и второго вида продукции

доставляющего максимум прибыли.

Решение:

1. Составляем модель.

Пусть х1 искомый объем (1 продукции первого вида;

х2 - (2 объем выпуска второго вида продукции.

Цель: максимальная прибыль.

Модель:

4х1 – прибыль от реализации ( первого вида продукции

2х2 – прибыль от реализации ( второго вида.

Целевая функция L(х1х2) = С1х1 + С2х2 = 4х1 + 2х2

С1 = 4; С2 = 2 – коэффициенты при переменных в целевой функции.

Планируемое использование машин по цехам не должно превышать наличие

этого оборудования в цехах (по цехам) ( отсюда система неравенств.

А – 3х1 + 2х2 ( 28 ограничение по

Б – 2х1 + 1х2 ( 20 использованию

В – 1х1 + 0х2 ( 10 оборудования,

условие не отрицательности.

х1 ( 0; х2 ( 0.

Для решения задачи симплексным методом в условиях ограничений

принимается работа каждой машины в цехе в машино/часах.

Система неравенств приводится к каноническому виду, путем добавления

дополнительных переменных и перевода неравенств в уравнение:

3х1 + 2х2 + х3 ( 28

2х1 + х2 + х4 ( 20

х1 + х5 ( 10

Переведем систему неравенств в уравнение:

х3 = 28 – (3х1 + 2х2) сколько машин

х4 = 20 – (2х1 + х2) нужно

х5 = 10 – х1 (машино/часов)

Дополнительные переменные должны быть введены в целевую функцию,

которая будет иметь вид:

L(х1х2) = С1х1 + С2х2 + С3х3 + С4х4 + С5х5 = 4х1 + 2х2 + 0х3 + 0х4 +

0х5

стремится к максимуму

х1 ( 0; х2 ( 0; х3 = 0; х4 = 0; х5 = 0.

Выразим х3; х4 и х5 через х1 и х2

х3 = 28 – 3х1 - 2х2

х4 = 20 – 2х1 - х2

х5 = 10 – х1

Модель составлена и в этой модели имеются: х1; х2 – независимые

(свободные) переменные; х3; х4; х5 – базисные переменные.

По составленной модели используют итерационные процедуры метода,

составим альтернативные варианты решения системы уравнений с пятью

неизвестными.

Первым решением будет х1 = 0; х2 = 0; х3 = 28; х4 = 20; х5 = 10.

Целевая функция будет равняться: L = 4*0 + 2*0 + 0*28 + 0*20 + 0*10=0

Используя систему уравнений, составим отправную таблицу:

| | | |4 = С1 |2 = С2 |0 = С3 |0 = С4 |0 = С5 |

|Сб |Хб |В | | | | | |

| | | |Х1 |Х2 |Х3 |Х4 |Х5 |

|0 |Х3 |28 |3 |2 |1 |0 |0 |

|0 |Х4 |20 |2 |1 |0 |1 |0 |

|0 |Х5 |10 |1 |0 |0 |0 |1 |

|Zj - Сj |Z0 = 0 |-4 |-2 |0 |0 |0 |

Z0 = 0*28+0*20+0*10 = 0

Z1 – С1 ( Z1 = 0*3+0*2+0*1-4 = -4

Z2 = 0*2+0*1+0*0-2 = -2

Получение второго базисного решения, и решения вообще, надо

преобразовать, первую таблицу во вторую получив улучшенное (решение)

значения.

28/3=9,33; 20/2=10; 10/1=10.

Составляем вторую базисную таблицу:

| | | |3 = С1 |2 = С2 |0 = С3 |0 = С4 |0 = С5 |

|Сб |Хб |В | | | | | |

| | | |Х1 |Х2 |Х3 |Х4 |Х5 |

|3 |Х1 |28/3 |1 |2/3 |1/3 |0 |0 |

|0 |Х4 |4/3 |0 |-1/3 |-2/3 |1 |0 |

|0 |Х5 |2/3 |0 |-2/3 |-1/3 |0 |1 |

|Zj – Сj |Z = 112/3|0 |2/3 |4/3 |0 |0 |

Для столбца свободных членов (В):

20-28*2/3=(60-56)/3=4/3

10-28*1/3=(30-28)/3=2/3

Для столбца х2 по тому же правилу:

1-2*2/3=1-4/3=-1/3

0-2*1/3=0-2/3=-2/3

Для столбца х3:

0-1*2/3=0-2/3=-2/3

0-1*1/3=0-1/3=-1/3

Определяем индексную строку:

0-28*(-4)/3=0+112/3=112/3=Z

-2-2*(-4)/3=-2-(-8/3)=2/3

0-1*(-4)/3=0-(-4/3)=4/3

Z0 = 112/3 – самая большая прибыль.

Из таблицы №2 видно, что в индексной строке отсутствуют отрицательные

значения и, следовательно, невозможно дальнейшее назначение итерационных

процедур. Полученное значение прибыли Z0 = 112/3 рублей прибыли в час,

является оптимальным.

Пример №3:

Условие задачи (постановка):

Найти план производства предприятия обеспечивающий максимум прибыли.

Предприятие производит два вида продукции в трех цехах:

А 87

Б 7

В 24

Установлено соответственно: 87;7 и 24 единиц оборудования.

Нормы использования оборудования для производства за 1 час единицы

продукции представлены в таблице в машино/часах:

| |ВИДЫ ПРОДУКЦИИ |

|ЦЕХ | |

| |1 |2 |

|А |5 |3 |

|Б |4 |0 |

|В |2 |3 |

Прибыль первого вида продукции 10 рубля

Прибыль единицы второй продукции 2 рубля

Требуется определить объем выпуска первого и второго вида продукции

доставляющего максимум прибыли.

Решение:

1. Составляем модель.

Пусть х1 искомый объем (1 продукции первого вида;

х2 - (2 объем выпуска второго вида продукции.

Цель: максимальная прибыль.

Модель:

10х1 – прибыль от реализации ( первого вида продукции

2х2 – прибыль от реализации ( второго вида.

Целевая функция L(х1х2) = С1х1 + С2х2 = 10х1 + 2х2

С1 = 10; С2 = 2 – коэффициенты при переменных в целевой функции.

Планируемое использование машин по цехам не должно превышать наличие

этого оборудования в цехах (по цехам) ( отсюда система неравенств.

А – 5х1 + 3х2 ( 87 ограничение по

Б – 4х1 + 0х2 ( 7 использованию

В – 2х1 + 3х2 ( 24 оборудования,

условие не отрицательности.

х1 ( 0; х2 ( 0.

Для решения задачи симплексным методом в условиях ограничений

принимается работа каждой машины в цехе в машино/часах.

Система неравенств приводится к каноническому виду, путем добавления

дополнительных переменных и перевода неравенств в уравнение:

5х1 + 3х2 + х3 ( 87

4х1 + х4 ( 7

2х1 + 3х2 + х5 ( 24

Переведем систему неравенств в уравнение:

х3 = 87 – (5х1 + 3х2) сколько машин

х4 = 7 – 4х1 нужно

х5 = 24 – (2х1 +3х2) (машино/часов)

Дополнительные переменные должны быть введены в целевую функцию,

которая будет иметь вид:

L(х1х2) = С1х1 + С2х2 + С3х3 + С4х4 + С5х5 =10х1 + 2х2 + 0х3 + 0х4 +

0х5

стремится к максимуму

х1 ( 0; х2 ( 0; х3 = 0; х4 = 0; х5 = 0.

Выразим х3; х4 и х5 через х1 и х2

х3 = 87 – 5х1 - 3х2

х4 = 7 – 4х1

х5 = 24 – 2х1 – 3х2

Модель составлена и в этой модели имеются: х1; х2 – независимые

(свободные) переменные; х3; х4; х5 – базисные переменные.

По составленной модели используют итерационные процедуры метода,

составим альтернативные варианты решения системы уравнений с пятью

неизвестными.

Первым решением будет х1 = 0; х2 = 0; х3 = 87; х4 = 7; х5 = 24.

Целевая функция будет равняться: L = 10*0 + 2*0 + 0*87 + 0*7 + 0*24=0

Используя систему уравнений, составим отправную таблицу:

| | | |10 = С1 |2 = С2 |0 = С3 |0 = С4 |0 = С5 |

|Сб |Хб |В | | | | | |

| | | |Х1 |Х2 |Х3 |Х4 |Х5 |

|0 |Х3 |87 |5 |3 |1 |0 |0 |

|0 |Х4 |7 |4 |0 |0 |1 |0 |

|0 |Х5 |24 |2 |3 |0 |0 |1 |

|Zj - Сj |Z0 = 0 |-10 |-2 |0 |0 |0 |

Z0 = 0*87+0*7+0*24 = 0

Z1 – С1 ( Z1 = 0*5+0*4+0*2-10 = -10

Z2 = 0*3+0*0+0*3-2 = -2

Получение второго базисного решения, и решения вообще, надо

преобразовать, первую таблицу во вторую получив улучшенное (решение)

значения.

87/5=17,4; 7/4=1,75; 24/2=12.

Составляем вторую базисную таблицу:

| | | |3 = С1 |2 = С2 |0 = С3 |0 = С4 |0 = С5 |

|Сб |Хб |В | | | | | |

| | | |Х1 |Х2 |Х3 |Х4 |Х5 |

|0 |Х3 |313/4 |0 |3 |1 |-5/4 |0 |

|4 |Х1 |7/4 |1 |0 |0 |ј |0 |

|0 |Х5 |41/2 |0 |3 |0 |-1/2 |1 |

|Zj – Сj |Z = 35/2 |0 |-2 |0 |5/2 |0 |

Для столбца свободных членов (В):

87-7*5/4=(87-35)/4=313/4

24-7*2/4=(48-7)/2=41/2

Для столбца х4 по тому же правилу:

0-1*5/4=0-5/4=-5/4

0-1*2/4=0-1/2=-1/2

Определяем индексную строку:

0-7*(-10)/4=0+35/2=35/2=Z

0-1*(-10)/4=0-(-5/2)=5/2

Расчеты каждой последующей таблицы выполняются с использованием значений

предыдущей таблицы. Полученное решение не оптимально.

-2 - генеральный элемент

Решение может быть улучшено, так как в индексной строке отрицательный

элемент.

Таблица №3

Х5 заменит Х2

| | | |3 = С1 |2 = С2 |0 = С3 |0 = С4 |0 = С5 |

|Сб |Хб |В | | | | | |

| | | |Х1 |Х2 |Х3 |Х4 |Х5 |

|0 |Х3 |425/4 |0 |0 |1 |13/4 |-1 |

|4 |Х1 |7/4 |1 |0 |0 |1/4 |0 |

|3 |Х2 |123/2 |0 |1 |0 |-3/2 |3 |

|Zj – Сj |Z = 187/6|0 |0 |0 |28/3 |2/3 |

Для столбца свободных членов (В):

313/4-41/2*3 / 3=313/4-41*3*3/2=425/4;

7/4-41/2*0/3=7/4-0=7/4

Для столбца х4:

-5/4-(-1/2)*3 / 3=-5/4+9/2=13/4; 1/4-(-1/2)*0 / 3=1/4

Для столбца х5 по тому же правилу:

0-1*3 / 3=0-1=-1; 0-1*0 /3=0

Определяем индексную строку:

35/2-41/2*(-2) / 3=(105+82)/6=187/6=Z

5/2-(-1/2)*(-2) / 3=5/2-1/3=28/3

0-1*(-2) / 3=0+2/3=2/3

Z0 = 187/6 – самая большая прибыль.

Из таблицы №3 видно, что в индексной строке отсутствуют отрицательные

значения и, следовательно, невозможно дальнейшее назначение итерационных

процедур. Полученное значение прибыли Z0=187/6 рублей прибыли в час,

является оптимальным.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Решение – это выбор альтернативы. Принятие решений – связующий

процесс, необходимый для выполнения любой управленческой функции. В

условиях рыночной экономики менеджер своими решениями может повлиять на

судьбы многих людей и организаций.

В зависимости от уровня сложности задач, среда принятия решений

варьируется в зависимости от степени риска.

Условия определенности существуют, когда руководитель точно знает

результат, который будет иметь каждый выбор.

В условиях риска вероятность результата каждого решения можно

определить с известной достоверностью.

Если информации недостаточно для прогнозирования уровня вероятности

результатов в зависимости от выбора, условия принятия решения являются

неопределенными. В условиях неопределенности руководитель на основе

собственного суждения должен установить вероятность возможных последствий.

Каждое решение сопряжено с компромиссами, негативными последствиями и

побочными эффектами, значение которых руководитель должен соотнести с

ожидаемой выгодой. Все решения, как запрограммированные, так и не

запрограммированные, принимаемые менеджером должны быть основаны не только

на суждениях, интуиции и прошлом опыте, но и применять рациональный подход

к принятию решений.

При принятии решений современный менеджер должен: широко использовать

различные методы науки управления; оценивать среду принятия решений и

риски; знать и уметь применять различные модели и методы прогнозирования

для принятия решений.

Список используемой литературы

1. Л. Планкетт, Выработка и принятие управленческих решений, М.:

«ПРИОР» 1998 г.

2. Ли Якокка, Карьера менеджера, Мн.: “Парадокс”, 2000 г.

3. М. Эддоус, Р. Стэнсфилд, Методы принятия решений, М.: ИНФРА-М 1999

г.

4. Н.Л. Карнадская, Принятие управленческого решения: Учебник для

вузов. – М.: ЮНИТИ, 1999 г.

5. Р.А. Фатхутдинов, Управленческие решения: Учебник. 4-е изд.,

перераб. И доп. – М.: ИНФРА-М, 2001 г.

-----------------------

Аналитические

Словесно-описательные

Математические

Имитационные (метод Монте-Карло)

Теоретические

Формальные

Структурные

Символьные

Вещественные (физические)

1

3

4

5

6

2

Функциональные

Страницы: 1, 2, 3, 4