Термодинамика

систем.

Решение уравнения (2.7) , если нет внешних ограничений , должны

соответствовать равновесию при любом виде функции F . Поскольку равновесное

состояние стационарно , то

Fi ({Xрав},(рав ) = 0 (2.8)

В более общем случае для неравновесного состояния можно аналогично

написать условие

Fi ({X},() = 0 (2.9)

Эти условия налагают определенные ограничения универсального характера ,

например, законы эволюции системы должны быть такими , чтобы выполнялось

требование положительности температуры или химической концентрации,

получаемых как решения соответствующих уравнений.

Другой универсальной чертой является нелинейным . Пусть , например

некоторая единственная характеристика системы

удовлетворяет уравнению

[pic] [pic] (2.10)

где k - некоторый параметр , ( - внешние управляющие ограничения . Тогда

стационарное состояние определяется из следующего алгебраического уравнения

( - kX = 0 (2.11)

откуда

Xs = ( / k (2.12)

В стационарном состоянии , таким образом , значении характеристики ,

например , концентрации , линейно изменяется в зависимости от значений

управляющего ограничения ( , и имеется для каждого ( единственное состояние

Хs . Совершенно однозначно можно предсказать стационарное значение Х при

любом ( ,если иметь хотя бы два экспериментальных значения Х

(( ) .Управляющий параметр может , в частности , соответствовать степени

удаленности системы от равновесия . Поведение в этом случае системы очень

похожи на равновесии даже при наличии сильно неравновесных ограничений .

[pic]

Рис. 2.6. Иллюстрация универсальной черты нелинейности в самоорганизации

структур .

Если же стационарное значение характеристики Х не линейно зависит от

управляющего ограничения при некоторых значениях , то при одном и том же

значении имеется несколько различных решений . Например , при ограничениях

система имеет три стационарных решения , рисунок 2.6.в. Такое универсальное

отличие от линейного поведения наступает при достижении управляющим

параметром некоторого критического значения ( - проявляется бифуркация.

При этом в нелинейной области небольшое увеличение может привести к

неодекватно сильному эффекту - система может совершить скачок на устойчивую

ветвь при небольшом изменении вблизи критического значения ( , рисунок

2.6.в. Кроме того из состояний на ветви А1В могут происходить переходы

АВ1 ( или наоборот ) даже раньше , чем будут достигнуты состояния В или А

, если возмущения накладываемые на стационарное состояние , больше значение

, соответствующего промежуточной ветви А В . Возмущениями могут служить

либо внешнее воздействие либо внутренние флуктуации в самой системе . Таким

образом , системе с множественными стационарными состояниями присуще

универсально свойствам внутренне возбудимость и изменчивости скачкам .

Выполнение теоремы по минимально производстве энтропии в линейной

области , а, как обобщение этой теоремы , выполнение универсального

критерия (2.6.) и в линейной , и в нелинейной области гарантируют

устойчивость стационарных неравновесных состояний. В области линейности

необратимых процессов производство энтропии играет такую же роль , как

термодинамические потенциалы в равновесной термодинамике . В нелинейной

области величина dP / dt не имеет какого либо общего свойства , однако ,

величина dx P/dt удовлетворяет неравенству общего характера (2.6. ) ,

которая является обобщением теоремы о минимальном производстве энтропии .

2.3 ПРИМЕРЫ САМООРГАНИЗАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ

СИСТЕМ.

Рассмотрим в качестве иллюстрации некоторые примеры самоорганизации

систем в физике , химии , биологии и социуме.

1. ФИЗИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ.

В принципе даже в термодинамическом равновесии можно указать примеры

самоорганизации , как результаты коллективного поведения . Это , например ,

все фазовые переходы в физических системах , такие как переход жидкость -

газ , ферромагнитный переход или возникновение сверхпроводимости . В

неравновесном состоянии можно назвать примеры высокой организации в

гидродинамике , в лазерах различных типов , в физике твердого тела -

осциллятор Ганна , туннельные диоды , рост кристаллов .

В открытых системах , меняя поток вещества и энергии из вне , можно

контролировать процессы и направлять эволюцию систем к состояниям , все

более далеким от равновесия . В ходе неравновесных процессов при некотором

критическом значении внешнего потока из неупорядоченных и хаотических

состояний за счет потери их устойчивости могут возникать упорядоченные

состояния , создаваться диссипативные структуры .

2.3.1а. ЯЧЕЙКИ БЕНАРА.

Классическим примером возникновения структуры из полностью хаотической

фазы являются конвективные ячейки Бенара . В 1900 году была опубликована

статья Х.Бенара с фотографией структуры , по виду напоминавшей пчелиные

соты (рис. 2.7).

[pic]

Рис. 2.7. Ячейки Бенара :

а) - общий вид структуры

б) - отдельная ячейка.

Эта структура образовалась в ртути , налитой в плоский широкий сосуд ,

подогреваемый снизу , после того как температурный градиент превысил

некоторое критическое значение . Весь слой ртути (или другой вязкой

жидкости) распадался на одинаковые вертикальные шестигранные призмы с

определенным соотношением между стороной и высотой (ячейки Бенара). В

центральной области призмы жидкость поднимается , а вблизи вертикальных

граней - опускается . Возникает разность температур Т между нижней и

верхней поверхностью (Т = Т2 - Т1 ( 0 .Для малых до критических разностей

(Т ( (Тkp жидкость остается в покое , тепло снизу вверх передается путем

теплопроводности . При достижении температуры подогрева критического

значения Т2 = Тkp (соответственно (Т = (Тkp ) начинается конвекция . При

достижении критического значения параметра Т , рождается , таким образом ,

пространственная диссипативная структура . При равновесии температуры равны

Т2 =Т1 , (Т = 0 . При кратковременном подогреве (подводе тепла) нижней

плоскости , то есть при кратковременном внешнем возмущении температура

быстро станет однородной и равной ее первоначальному значению . Возмущение

затухает , а состояние - асимптотически устойчиво. При длительном , но до

критическом подогреве ( (Т ( (Тkp ) в системе снова установится простое и

единственное состояние , в котором происходит перенос к верхней поверхности

и передачи его во внешнюю среду (теплопроводность) , рис. 2.8 , участок а .

Отличие этого состояния от равновесного состояния состоит в том , что

температура , плотность , давление станут неоднородными . Они будут

приблизительно линейно изменяться от теплой области к холодной .

[pic]

Рис. 2.8. Поток тепла в тонком слое жидкости.

Увеличение разности температур (Т , то есть дальнейшее отклонение

системы от равновесия , приводит к тому , что состояние неподвижной

теплопроводящей жидкости становится неустойчивым участок б на рисунке

2.8. Это состояние сменяется устойчивым состоянием (участок в на рис.

2.8) , характеризующимся образованием ячеек . При больших разностях

температур покоящаяся жидкость не обеспечивает большой перенос тепла ,

жидкость (вынуждена( двигаться , причем кооперативным коллективным

согласованном образом.

Далее этот вопрос рассматривается в 3 главе.

2.3.1в. ЛАЗЕР , КАК САМООРГАНИЗУЮЩАЯСЯ

СИСТЕМА.

Итак , в качестве примера физической системы , упорядоченность которой

есть следствие внешнего воздействия , рассмотрим лазер.

При самом грубом описании лазер - это некая стеклянная трубка , в

которую поступает свет от некогерентного источника (обычной лампы) , а

выходит из нее узконаправленный когерентный световой пучок , при этом

выделяется некоторое количества тепла.

[pic]

При малой мощности накачки эти электромагнитные волны , которые

испускает лазер , некоррелированные , и излучение подобно излучению обычной

лампы. Такое некогерентное излучение - это шум , хаос. При повышении

внешнего воздействия в виде накачки до порогового критического значения

некогерентный шум преобразуется в (чистый тон( , то есть испускает число

синусоидальная волна - отдельные атомы ведут себя строго коррелированным

образом , самоорганизуются.

Лампа ( Лазер

Хаос ( Порядок

Шум ( Когерентное излучение

В сверхкритической области режим (обычной лампы( оказывается не

стабильным , а лазерный режим стабильным , рисунок 2.9.

[pic]

Рис. 2.9. Излучение лазера в до критической (а) и

сверхкритической (б) области.

Видно , что образование структуры в жидкости и в лазере формально

описывается весьма сходным образом . Аналогия связана с наличием тех же

самых типов бифуркаций в соответствующих динамических уровнях.

Подробнее этот вопрос рассмотрим в практической части , в 3 главе.

2. ХИМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ .

В этой области синергетика сосредотачивает свое внимание на тех явлениях

, которые сопровождаются образованием макроскопических структур . Обычно

если дать реагентам про взаимодействовать, интенсивно перемешивая

реакционную смесь, то конечный продукт получается однородный . Но в

некоторых реакциях могут возникать временные, пространственные или

смешанные ( пространственные - временные) структуры . Наиболее известным

примером может служить реакция Белоусова - Жаботинского .

2.3.2а. РЕАКЦИЯ БЕЛАУСОВА - ЖАБОТИНСКОГО.

Рассмотрим реакцию Белоусова -Жаботинского . В колбу сливают в

определенных пропорциях Ce2(SO4) , KBrO3 , CH2(COOH)2, H2SO4 , добавляют

несколько капель индикатора окисления - восстановления - ферроина и

перемешивают . Более конкретно - исследуются окислительно -

восстановительные реакции

Ce 3+_ _ _ Ce 4+ ; Ce 4+_ _ _ Ce 3+

в растворе сульфата церия , бромида калия , малоковой кислоты и серной

кислоты . Добавление феррогена позволяет следить за ходом реакции по

изменению цвета ( по спектральному поглащению ) . При высокой концентрации

реагирующих веществ , превышающих критическое значение сродства ,

наблюдаются необычные явления .

При составе

сульфат церия - 0,12 ммоль/л

бромида калия - 0,60 ммоль/л

малоковой кислоты - 48 ммоль/л

3-нормальная серная кислота ,

немного ферроина

При 60 С изменение концентрации ионов церия приобретает характер

релаксационных колебании - цвет раствора со временем периодически

изменяется от красного (при избытке Се3+ ) до синего ( при избытке Се 4+) ,

рисунок 2.10а .

[pic]

Рис. 2.10. Временные (а) и пространственные (б)

периодические структуры в реакции

Белоусова - Жаботинского.

...Такая система и эффект получили название химические часы . Если на

реакцию Белоусова - Жаботинского накладывать возмущение - концентрационный

или температурный импульс , то есть вводя несколько миллимолей бромата

калия или прикасаясь к колбе в течении нескольких секунд , то после

некоторого переходного режима будут снова совершаться колебания с такой же

амплитудой и периодом , что и до возмущения . Диссипативная

Белоусова - Жаботинского , таким образом , является ассимптотически

устойчивой . Рождение и существование незатухающих колебаний в такой

системе свидетельствует о том , что отдельные части системы действуют

согласованно с поддержанием определенных соотношений между фазами . При

составе

сульфата церия - 4,0 ммоль/л,

бромида калия - 0,35 ммоль/л,

малоковой кислоты - 1,20 моль/л,

серной кислоты - 1,50 моль/л,

немного ферроина

при 20 С в системе происходят периодические изменения цвета с периодом

около 4 минут . После нескольких таких колебаний спонтанно возникают

неоднородности концентрации и образуются на некоторое время ( 30 минут ) ,

если не подводить новые вещества , устойчивые пространственные структуры ,

рисунок 2.10б . Если непрерывно подводить реагенты и отводить конечные

продукты , то структура сохраняется неограниченно долго .

3. БИОЛОГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ .

Животный мир демонстрирует множество высокоупорядоченных структур и

великолепно функционирующих . Организм как целое непрерывно получает потоки

энергии ( солнечная энергия , например , у растений ) и веществ (

питательных ) и выделяет в окружающую среду отходы жизнедеятельности .

Живой организм - это система открытая . Живые системы при этом

функционируют определенно в дали от равновесия . В биологических системах ,

процессы самоорганизации позволяют биологическим системам

(трансформировать( энергию с молекулярного уровня на макроскопический .

Такие процессы , например , проявляются в мышечном сокращении , приводящим

к всевозможным движениям , в образовании заряда у электрических рыб , в

распознавании образов , речи и в других процессах в живых системах.

Сложнейшие биологические системы являются одним из главных объектов

исследования в синергетике . Возможность полного объяснения особенностей

биологических систем , например , их эволюции с помощью понятий открытых

термодинамических систем и синергетики в настоящее время окончательно

неясна . Однако можно указать несколько примеров явной связи между

понятийным и математическим аппаратом открытых систем и биологической

упорядоченностью.

Более конкретно биологические системы мы рассмотрим в 3 главе ,

посмотрим динамику популяций одного вида и систему (жертва - хищник( .

4. СОЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ .

Социальная система представляет собой определенное целостное

образование , где основными элементами являются люди , их нормы и связи .

Как целое система образует новое качество , которое не сводится к сумме

качеств ее элементов . В этом наблюдается некоторая аналогия с изменением

свойств при переходе от малого к очень большому числу частиц в

статической физике - переход от динамических к статическим закономерностям

. При этом весьма очевидно , что всякие аналогии с физико - химическими и

биологическими системами весьма условны , поэтому проводить аналогию между

человеком и молекулой или даже нечто подобное было бы не допустимым

заблуждением . Однако , понятийный и математический аппарат нелинейной

неравновесной термодинамики и синергетики оказываются полезными в описании

и анализе элементов самоорганизации в человеческом обществе.

Социальная самоорганизация - одно из проявлений спонтанных или

вынужденных процессов в обществе , направленная на упорядочение жизни

социальной системы , на большее саморегулирование. Социальная система

является системой открытой способная , даже вынужденная обмениватся с

внешним миром информацией , веществом , энергией. Социальная

самоорганизация возникает как результат целеноправленных индивидуальных

действий ее составляющих.

Рассмотрим самоорганизацию в социальной системы напримере урбанизации

зоны . Проводя анализ урбанизации географических зон можно предположить ,

что рост локальной заселенности данной территории будет обусловлен наличием

в этой зоне рабочих мест . Однако , здесь существует некоторая зависимость

: состояние рынка , определяющего потребность в товарах и услугах и

занятости . Отсюда возникает механизм нелинейной обратной связи в процессе

роста плотности населения. Такая задача решается на основе логистического

уравнения , где зона характеризуется ростом ее производительности N ,

новых экономических функций S - функция в локальной области i города.

Логистическое уравнение описывает эволюцию численности населения и может

быть тогда представлена в виде

dni

. = Кni(N + ( Rk Sik - ni) - dni ( 2.13 )

dt k

где Rk вес данной к - ой функции , ее значимость . Экономическая

функция изменяется с ростом численности : определяется спросом на к - й

продукт в i - й области в зависимости от увеличения численности населения

и конкуренции предприятий в других зонах города . Появление новой

экономической функции играет роль социально экономической флуктуации и

нарушает равномерное распределение плотности населения. Такие численные

расчеты по логистическим уравнениям могут быть полезны прогнозировании

многих проблем.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

В рассмотренных примерах в литературе имеются лишь общие выводы и

заключения , не приведены конкретные аналитические расчеты или численные .

Целью настоящей дипломной работы является аналитические и численные

исследования самоорганизации различных систем .

ГЛАВА 3

АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

САМООРГАНИЗАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ.

3.1. ЯЧЕЙКИ БЕНАРА .

Для того , чтобы экспериментально изучить структуры , достаточно иметь

сковороду , немного масла и какой ни будь мелкий порошок , чтобы было

заметно движение жидкости . Нальем в сковороду масло с размешанным в нем

порошком и будем подогревать ее снизу (рис. 3.1)

[pic]

Рис. 3.1. Конвективные ячейки Бенара.

Если дно сковороды плоское и нагреваем мы ее равномерно , то можно

считать , что у дна и на поверхности поддерживаются постоянные температуры

, снизу - Т1 , сверху - Т2 . Пока разность температуры (Т = Т1 - Т2

невелика , частички порошка неподвижны , а следовательно , неподвижна и

жидкость .

Будем плавно увеличивать температуру Т1 . С ростом разности температур

до значения (Тc наблюдается все та же картина , но когда (Т ( (Тc , вся

среда разбивается на правильные шестигранные ячейки (см. Рис. 3.1) в центре

каждой из которых жидкость движется вверх , по кроям вниз . Если взять

другую сковороду , то можно убедиться , что величина возникающих ячеек

практически не зависит от ее формы и размеров . Этот замечательный опыт

впервые был проделан Бенаром в начале нашего века , а сами ячейки получили

название ячеек Бенара .

Элементарное качественное объяснения причины движения жидкости

заключается в следующем . Из-за теплового расширения жидкость расслаивается

, и в более нижнем слое плотность жидкости (1 меньше , чем в верхнем (2

. Возникает инверсный градиент плотности , направленный противоположно силе

тяжести . Если выделить элементарный объем V , который немного смещается

вверх в следствии возмущения , то в соседнем слое архимедова сила станет

больше силы тяжести , так как (2 ( (1 . В верхней части малый объем ,

смещаясь вниз , поподает в облость пониженной плотности , и архимедова сила

будет меньше силы тяжести FA < FT , возникает нисходящее движение

жидкости . Направление движения нисходящего и восходящего потоков в данной

ячейке случайно , движение же потоков в соседних ячейках , после выбора

направлений в данной ячейке детерминировано . Полный поток энтропии через

границы системы отрицателен , то есть система отдает энтропию , причем в

стационарном состоянии отдает столько , сколько энтропии производится

внутри системы (за счет потерь на трение).

dSe q q T1 - T2

. = ( - ( = q ( ((( < 0 (3.1)

dt T2 T1 T1 ( T2

Образование именно сотовой ячеистой структуры объясняется минимальными

Страницы: 1, 2, 3, 4