Термодинамика

затратами энергии в системе на создание именно такой формы пространственной

структуры . При этом в центральной части ячейки жидкость движется вверх , а

на ее периферии - вниз.

Дальнейшее сверхкритическое нагревание жидкости приводит к разрушению

пространственной структуры - возникает хаотический турбулентный режим.

[pic]

Рис. 3.2. Иллюстрация возникновения тепловой

конвекции в жидкости .

К этому вопросу прикладывается наглядная иллюстрация возникновения

тепловой конвекции в жидкости .

2 ЛАЗЕР , КАК САМООРГАНИЗУЮЩАЯСЯ СИСТЕМА.

Во второй главе этот вопрос мы уже рассматривали . Здесь же , рассмотрим

простую модель лазера .

Лазер - это устройство , в котором в процессе стимулированного излучения

порождаются фотоны .

Изменение со временем числа фотонов n , или другими словами , скорость

порождения фотонов , определяется уравнением вида :

dn / dt = «Прирост» - «Потери» (3.2)

Прирост обусловлен так называемым стимулированном излучением . Он

пропорционален числу уже имеющихся фотонов и числу возбужденных атомов N .

Таким образом :

Прирост = G N n (3.3)

Здесь G - коэффициент усиления , который может быть получен из

микроскопической теории . Член , описывающий потери , обусловлен уходом

фотонов через торцы лазера . Единственное допущение , которое мы принимаем

, - это то , что скорость ухода пропорциональна числу имеющихся фотонов .

Следовательно ,

Потери = 2(n (3.4)

2( = 1/ t0 , где t0 - время жизни фотона в лазере .

Теперь следует учесть одно важное обстоятельство , которое делает (2.1)

нелинейным уравнением вида :

[pic] (3.5)

Число возбужденных атомов уменьшается за счет испускания фотонов . Это

уменьшение (N пропорционально числу имеющихся в лазере фотонов ,

поскольку эти фотоны постоянно заставляют атомы возвращаться в основное

состояние .

(N = (n (3.6)

Таким образом , число возбужденных атомов равно

N = N0 - (N (3.7)

где N0 - число возбужденных атомов , поддерживаемое внешней

накачкой , в отсутствии лазерной генерации.

Подставляя (3.3) - (3.7) в (3.2) , получаем основное уравнение нашей

упрощенной лазерной модели :

[pic] (3.8)

где постоянная k дает выражение :

k1 = (G

k = 2( - GN0 (( 0 (3.9)

Если число возбужденных атомов N0 (создаваемых накачкой) невелико , то

k положительно , в то время как при достаточно больших N0 k - может

стать отрицательным . Изменение знака происходит когда

GN0 = 2( (3.10)

Это условие есть условие порога лазерной генерации .

Из теории бифуркации следует , что при k > 0 лазерной генерации нет ,

в то время как при k < 0 лазер испускает фотоны.

Ниже или выше порога лазер работает в совершено разных режимах .

Решим уравнение (3.8) и проанализируем его аналитически :

- это уравнение одномодового лазера .

Запишем уравнение (3.8) в следующем виде :

[pic]

Разделим исходное уравнение на n2 .

[pic]

и введем новую функцию Z :

1/n = n-1 = Z ( Z1 = - n-2 следовательно уравнение примет вид :

[pic]

перепишем его в следующем виде :

[pic]

разделим обе части данного уравнения на -1 , получим

[pic] (3.11)

Уравнение (3.11) - это уравнение Бернулли , поэтому сделаем следующую

замену Z = U(V , где U и V неизвестные пока функции n , тогда

Z1 = U1 V + U V1 .

Уравнение (3.11) , после замены переменных , принимает вид

U1 V + UV1 - k UV = k1

преобразуем , получим

U1 V + U(V1 - k V) = k1 (3.12)

Решим уравнение (3.12)

V1 - k V = 0 ( dV/dt = k V

сделаем разделение переменных dV/V =k dt ( ln V = k t

результат V = ekt (3.13)

Отсюда мы можем уравнение (3.12) переписать в виде :

U1 ekt = k1

- это то же самое , что dU/dt = k1e-kt , dU = k1e -kt dt

выразим отсюда U , получим

[pic] (3.14)

По уравнению Бернулли мы делали замену Z = U V подставляя уравнения

(3.13) и (3.14) в эту замену , получим

[pic]

Ранее вводили функцию Z = n-1 , следовательно

[pic] (3.15)

Начальное условие n0=1/(c-k1/k) , из этого условия мы можем

определить константу с следующим образом

[pic]

Подставляя , найденную нами константу в уравнение (3.15) , получим

[pic] (3.16)

Исследуем функцию (3.16) при k = 0 , k < 0 , k > 0 .

При k(0 ; ekt ( 0 ; (ekt - 1)(0 , то есть (ekt - 1)(k1/k(0((

(неопределенность) , раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя .

Эту неопределенность вида 0(( следует привести к виду [pic] . При

этом , как и всегда при применении правила Лопиталя , по ходу вычислений

рекомендуется упрощать получившиеся выражения , следующим образом :

[pic]

n(k)при k(0 ( 0 , следовательно [pic]

Перепишем (3.16) в следующем виде

[pic]

Линеаризуем нелинейное уравнение , получим

[pic]

[pic]ln n = - kt + c ( [pic]

Построим график для этих условий

[pic]

Рис. 3.3 К самоорганизации в одномодовом лазере :

кривая 1 : k < 0 , режим лазерной генерации

кривая 2 : k = 0 , точка бифуркации , порог

кривая 3 : k > 0 , режим лампы.

При k = 0 уравнение (3.8) примет вид

[pic]

решая его , получим

[pic]

[pic] (3.8)

При условии [pic] ; n(t) = const , функция (3.8) приближается к

стационарному состоянию , не зависимо от начального значения n0 , но в

зависимости от знаков k и k1 (смотри рисунок 3.3).

Таким образом , функция (3.8) принимает стационарное решение

[pic]

3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ .

О распространении и численности видов была собрана обширная информация .

Макроскопической характеристикой , описывающей популяцию , может быть число

особей в популяции . Это число играет роль параметра порядка . Если

различные виды поддерживаются общим пищевым ресурсом , то начинается

межвидовая борьба , и тогда применим принцип Дарвина : выживает наиболее

приспособленный вид . ( Нельзя не отметить сильнейшую аналогию ,

существующую между конкуренцией лазерных мод и межвидовой борьбой ). Если

имеются однотипные пищевые ресурсы , то становится возможным

сосуществование видов . Численность видов может быть подвержена временным

колебаниям.

ОДИН ВИД.

Рассмотрим сначала одну популяцию с числом особей в ней n . При наличии

пищевых ресурсов А особи размножаются со скоростью :

[pic]

и гибнут со скоростью :

[pic]

Здесь k и d - некоторые коэффициенты рождаемости и смертности , в

общем случае зависящее от параметров внешней среды обитания . Если бы

количество пищи было неограниченно , то эволюционное уравнение выглядело бы

так :

[pic]

Введем обозначение ( = kA - d

Оно было бы линейным и описывало бы неограниченный экспериментальный

рост (при kA > d), либо экспериментальную гибель (при kA < d) популяции.

[pic]

Рис. 3.4 Кривая 1: Экспоненциальный рост ; (>0 , kA>d

Кривая 2: Экспоненциальная гибель ; (>0 , kA>d.

[pic]

В общем случае , однако , пищевые ресурсы ограничены , так что скорость

потребления пищи

[pic]

Вместе с тем в общем случае возможно восстановление пищевых ресурсов со

скоростью :

[pic]

Здесь , конечно , рассмотрен придельный случай сохранения полного

количества органического вещества

A + n = N = const ,

N - способность среды обитания поддерживать популяцию.

Тогда с учетом A = N - n получится следующее уравнение эволюции

популяции одного вида (логистическое уравнение Ферхюльста ) :

[pic] (3.17)

Решим уравнение (3.17) аналитически , перепишем его следующим образом

[pic] , обозначим kN - d = k1

Получим :

[pic]

Воспользуемся [pic]табличным интегралом , [pic] ,полученное уравнение

примет вид :

[pic][pic]

решим это уравнение , преобразуя

[pic]

[pic]

сократим полученное выражение на k , и перенесем переменную k1 в правую

часть , получим

[pic]

отсюда n(t) ( [pic]

[pic]

Начальные условия :

[pic]

откуда

[pic]

Подставляя с в решение , получим уравнение в следующем виде

[pic]

ранее мы обозначали , что [pic] , подставляем и преобразуем

[pic]

сократим на k - коэффициент рождаемости , окончательно получим решение

уравнения (3.17)

[pic]

Итак , получено аналитическое решение логистического уравнения - это

решение указывает на то , что рост популяции останавливается на некотором

конечном стационарном уровне:

[pic]

то есть параметр n1 указывает высоту плато насыщения , к которому

стремится n(t) с течением времени .

Параметр n0 указывает начальное значение численности одного вида

популяции : n0 = n(t0) . Действительно , [pic] ,то есть n1 - предельная

численность вида в данной среде обитания . Иначе говоря , параметр n1

характеризует емкость среды по отношению к данной популяции . И наконец ,

параметр (kN - d) задает крутизну начального роста .

Отметим , что при малой исходной численности n0 (начальное число

особи) начальный рост популяций будет почти экспоненциальным

[pic]

Рис. 3.5. Логистическая кривая.

(эволюция популяции одного вида)

Решение уравнения (3.17) можно представить с помощью логистической

кривой (рис. 3.5) . Эволюция полностью детерминирована . Популяция

перестает расти , когда ресурс среды оказывается исчерпанным .

Самоорганизация - при ограниченном пищевом ресурсе. Система

самоорганизованна и взрывоподобный рост популяции (рис. 3.4 Кривая 1)

сменяется кривой с насыщением .

Подчеркнем , что при описании данной биологической системы используют

понятийный и физико-математический аппарат из нелинейной неравновесной

термодинамики.

Может случится , однако, что всегда за событиями , не управляемыми в

рамках модели , в той же среде появится , первоначально в малых количествах

, новые виды (характеризуемые другими экологическими параметрами k,N и d)

. В связи с такой экологической флуктуацией возникает вопрос о структурной

устойчивости : новые виды могут либо исчезнуть , либо вытеснить

первоначальных обитателей . Пользуясь линейным анализом устойчивости , не

трудно показать , что новые виды вытесняют старые только в том случае ,

если

[pic]

Последовательность , в которой виды заполняют экологическую нишу ,

представлена на рисунке 3.6.

[pic]

Рис. 3.6. Последовательное заполнение экологической

ниши различными видами .

Эта модель позволяет придать точным количественный смысл утверждению о

том , что «выживает наиболее приспособленный» , в рамках задачи о

заполнении заданной экологической ниши .

2. СИСТЕМА «ЖЕРТВА - ХИЩНИК».

Рассмотрим систему, состоящую из двух видов - это «жертва» и «хищник»

(например , зайцы и лисицы) , то эволюция системы и ее самоорганизация

выглядят иначе , чем в предыдущем случае.

Пусть в биологической системе имеются две популяции - «жертв» - кролики

(К) , и «хищников» - лисиц (Л), численностью К и Л .

Проведем теперь рассуждение , которое позволит нам объяснить

существование диссипативных структур .

Кролики (К) поедают траву (Т) . Предположим , что запас травы постоянен

и неисчерпаем . Тогда , одновременное наличие травы и кроликов способствуют

неограниченному росту кроличьей популяции . Этот процесс можно символически

изобразить так :

Кролики + Трава ( Больше кроликов

К + Т ( 2К

Тот факт , что в стране кроликов всегда имеется в достатке травы ,

вполне аналогичен непрерывному подводу тепловой энергии в задаче с ячейками

Бенара . Вскоре процесс , в целом , будет выглядеть как диссипативный (во

многом аналогично процессу Бенара ).

Реакция « Кролики - Трава » происходит спонтанно в направлении

увеличения популяции кроликов, что является прямым следствием второго

начала термодинамики .

Но вот в нашу картину , где мирно резвятся кролики , прокрались хищные

лисицы (Л), для которых кролики являются добычей . Подобно тому , как по

мере поедания травы кроликов становится больше , за счет поедания кроликов

возрастает число лисиц :

Лисицы + Кролики ( Больше лисиц

Л + К ( 2Л

В свою очередь лисицы , как и кролики являются жертвами - на этот раз

человека , точнее говоря происходит процесс

Лисицы ( Меха

Конечный продукт - Меха , не играет непосредственной роли в дальнейшем

ходе процесса . Этот конечный продукт можно , однако , рассматривать как

носитель энергии, выводимой из системы , к которой она была в начале

подведена (например, в виде травы ).

Таким образом , в экологической системе также существует поток энергии -

аналогично тому , как это имеет место в химической пробирке или

биологической клетке .

Совершенно ясно , что в действительности происходят периодические

колебания численности популяции кроликов и лисиц , причем за нарастании

численности кроликов следует нарастание численности лисиц , которые

сменяются уменьшением численности кроликов , сопровождающимся столь же

резким снижением численности лисиц , затем повышенным подъемом численности

кроликов и так далее (рис. 3.7).

[pic]

Рис. 3.7. Изменение численности популяций кроликов и лисиц

со временем. Наличие периодичности означает

возникновение экологической структуры.

С течением времени численность обеих популяций меняется в соответствии с

последовательным прохождением точек графика . Через некоторое время

(конкретное значение зависит от быстроты поедания лисицами кроликов , а так

же от скорости размножения обоих видов) весь цикл начинается вновь.

Поведение популяций при различных степенях плодовитости , а так же

различных способностях избегать истребления можно изучить количественно с

помощью программы : ПОПУЛЯЦИЯ (в приложении).

Эта программа реализует решение уравнений для диссипативной структуры

«кролики - лисицы». Результат решения изображается графически . Решается

система дифференциальных уравнений

[pic]

Здесь буквы К, Л, Т - означают соответственно количество кроликов ,

лисиц , травы ; коэффициенты k1, k2, k3 - обозначают соответственно

скорость рождения кроликов , скорость поедания кроликов лисицами и скорость

гибели лисиц.

В программе понадобится уточнить значение отношений (примерно равное 1),

постоянное количество травы (так же принимаемое обычно равным 1), начальные

значения популяции кроликов и лисиц (обычно 0,4), продолжительность цикла

(типичное значение 700) и шаг по оси времени (обычно равный 1).

Программа популяции - это график. Он показывает поведение популяций при

различных степенях плодовитости , а так же различных способностях избегать

истребление.

Совершенно ясно , что в действительности происходят периодические

колебания численности популяции кроликов и лисиц , причем за нарастании

численности кроликов следует нарастание численности лисиц , которые

сменяются уменьшением численности кроликов , сопровождающимся столь же

резким снижением численности лисиц , затем повышенным подъемом численности

кроликов и так далее, то есть видно , что система самоорганизуется.

Программа прилагается.

[pic]

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Мы видели , что необратимость времени тесно связана с неустойчивостями в

открытых системах . И.Р. Пригожин определяет два времени . Одно -

динамическое , позволяющее задать описание движения точки в классической

механике или изменение волновой функции в квантовой механике . Другое время

- новое внутренние время , которое существует только для неустойчивых

динамических систем . Оно характеризует состояние системы , связанное с

энтропией .

Процессы биологического или общественного развития не имеют конечного

состояния . Эти процессы неограниченны . Здесь , с одной стороны , как мы

видели , нет какого-либо противоречия со вторым началом термодинамики , а с

другой стороны - четко виден поступательный характер развития (прогресса) в

открытой системе. Развитие связано , вообще говоря , с углублением

неравновесности , а значит , в принципе с усовершенствованием структуры .

Однако с усложнением структуры возрастает число и глубина неустойчивостей ,

вероятность бифуркации .

Успехи решения многих задач позволили выделить в них общие

закономерности , ввести новые понятия и на этой основе сформулировать новую

систему взглядов - синергетику . Она изучает вопросы самоорганизации и

поэтому должна давать картину развития и принципы самоорганизации сложных

систем , чтобы применять их в управлении . Эта задача имеет огромное

значение , и , по нашему мнению , успехи в ее исследовании будут означать

продвижение в решении глобальных задач : проблемы управляемого

термоядерного синтеза , экологических проблем , задач управления и других .

Мы понимаем , что все приведенные в работе примеры относятся к модельным

задачам , и многим профессионалам , работающим в соответствующих областях

науки , они могут показаться слишком простыми . В одном они правы :

использование идей и представлений синергетики не должно подменять

глубокого анализа конкретной ситуации . Выяснить , каким может быть путь от

модельных задач и общих принципов к реальной проблеме - дело специалистов.

Кратко можно сказать так : если в изучаемой системе можно выделить один

самый важный процесс (или небольшое их число) , то проанализировать его

поможет синергетика . Она указывает направление , в котором нужно двигаться

. И , по-видимому , это уже много.

Исследование большинства реальных нелинейных задач было невозможно без

вычислительного эксперимента , без построения приближенных и качественных

моделей изучаемых процессов (синергетика играет важную роль в их создании).

Оба подхода дополняют друг друга . Эффективность применения одного зачастую

определяется успешным использованием другого . Поэтому будущее синергетики

тесно связано с развитием и широким использованием вычислительного

эксперимента .

Изученные в последние годы простейшие нелинейные среды обладают сложными

и интересными свойствами . Структуры в таких средах могут развиваться

независимо и быть локализованы, могут размножаться и взаимодействовать .

Эти модели могут оказаться полезными при изучении широкого круга явлений .

Известно , что имеется некоторая разобщенность естественно научной и

гуманитарной культур . Сближение , а в дальнейшем , возможно ,

гармоническое взаимообогащение этих культур может быть осуществлено на

фундаменте нового диалога с природой на языке термодинамики открытых систем

и синергетики .

[pic]

[pic]

ЛИТЕРАТУРА :

1. Базаров И.П. Термодинамика. - М.: Высшая школа, 1991 г.

Гленсдорф П. , Пригожин И. Термодинамическая теория структуры ,

устойчивости и флуктуаций. - М.: Мир, 1973 г.

Карери Д. Порядок и беспорядок в структуре материи. - М.: Мир, 1995 г.

Курдюшов С.П. , Малинецкий Г.Г. Синергетика - теория самоорганизации. Идеи

, методы перспективы. - М.: Знание, 1983 г.

Николис Г. , Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. - М.:

Мир, 1979 г.

Николис Г. , Пригожин И. Познание сложного. - М.: Мир, 1990 г.

Перовский И.Г. Лекции по теории дифференциальных уравнений. - М.: МГУ,

1980 г.

Попов Д.Е. Междисциплинарные связи и синергетика. - КГПУ, 1996 г.

Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. - М.:

Иностранная литература , 1960 г.

Пригожин И. От существующего к возникающему. - М.: Наука, 1985 г.

Синергетика , сборник статей. - М.: Мир, 1984 г.

Хакен Г. Синергетика . - М.: Мир , 1980 г.

Хакен Г. Синергетика . Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся

системах и устройствах . - М.: Мир , 1985 г.

Шелепин Л.А. В дали от равновесия. - М.: Знание, 1987 г.

Эйген М. , Шустер П. Гиперцикл . Принципы самоорганизации макромолекул . -

М.: Мир , 1982 г.

Эткинс П. Порядок и беспорядок в природе. - М.: Мир , 1987 г

[pic]

Страницы: 1, 2, 3, 4