Симметрия и асимметрия

Симметрия и асимметрия

Прошли тысячелетия, прежде чем человечество в ходе своей

общественно-производственной деятельности осознало необходимость выразить в

определенных понятиях установленные им прежде

всего в природе две тенденции: наличие строгой упорядоченности,

соразмерности, равновесия и их нарушения.

Люди давно обратили внимание на правильность формы кристаллов,

геометрическую строгость строения пчелиных сот, последовательность и

повторяемость расположения ветвей и листьев на

деревьях, лепестков, цветов, семян растений и отобразили эту

упорядоченность в своей практической деятельности, мышлении

и искусстве.

Понятие «симметрия» употреблялось в двух значениях. В одном

смысле симметричное означало нечто пропорциональное; симметрия показывает

тот способ согласования многих частей, с

помощью которого они объединяются в целое. Второй смысл этого

слова — равновесие.

Греческое слово (((((((( означает однородность, соразмерность,

пропорциональность, гармонию.

Познавая качественное многообразие проявлений порядка и

гармонии в природе, мыслители древности, особенно греческие

философы, пришли к выводу о необходимости выразить симметрию

и в количественных отношениях, при помощи геометрических

построений и чисел.

Симметрия форм предметов природы как выражение пропорциональности,

соразмерности, гармонии подавляла древнего человека

своим совершенством, и это было использовано религией, различными

представлениями мистицизма, пытавшимися истолковать наличие симметрии в

объективной действительности для доказательства

всемогущества богов, якобы вносящих порядок и гармонию в первоначальный

хаос. Так, в учении пифагорейцев симметрия, симметричные фигуры и тела

(круг и шар) имели мистическое значение, являлись воплощением совершенства.

Следует обратить внимание и на учение Пифагора о гармонии.

Известно, что если уменьшить длину струны или флейты вдвое,

тон повысится на одну октаву. Уменьшению в отношении 3:2 и

4:3 будут соответствовать интервалы квинта и кварта. То, что важнейшие

гармонические интервалы получаются при помощи отношений чисел 1, 2 и 3, 4,

пифагорейцы использовали для своих мистических выводов о том, что «все есть

число» или «все упорядочивается в соответствии с числами». Сами эти числа

1, 2, 3, 4 составляли

знаменитую «тетраду». Очень древнее изречение гласит: «Что есть

оракул дельфийский? Тетрада! Ибо она есть музыкальная гамма

сирен». Геометрическим образом тетрады является треугольник из

десяти точек, основание которого составляют 4 точки плюс 3,

плюс 2, а одна находится в центре.

В геометрии, механике — всюду, где мы имеем дело с отрезками

прямых, мы встречаемся и с понятиями меры, сравнения и соотношения. Эти

понятия являются отражением реальных отношений

между предметами в объективном мире. Чтобы пояснить это положение, можно

выбрать на данной прямой АВ любую третью точку С.

Таким образом, совершается переход от единства к двойственности,

и мысль этим самым приводит к понятию пропорции. Следует

подчеркнуть, что соотношение есть количественное сравнение двух

однородных величин, или число, выражающее это сравнение. Про-

порция есть результат согласования или равноценности двух или нескольких

соотношений. Следовательно, необходимо наличие

не менее трех величин (в рассматриваемом случае прямая и два

ее отрезка) для определения пропорции. Деление данного отрезка

прямой АВ путем выбора третьей точки С, находящейся между

А и В, дает возможность построить шесть различных возможных

соотношений:

a:b ; a:c ; b:a ; b:c ; c:a ; c:b

при условии отметки соответствующей длины отрезков прямой бук-

вами «а», «b», «с» и применения к данной длине любой системы

мер. Проанализировав возможные случаи деления отрезка АВ на

две части, мы приходим к выводу, что отрезок можно делить на:

1) две симметрические части a=b; 2) a:b = c:a

Так как c = a + b, то

a/b = (a + b)/a ;

( (a + b)/a очевидно, превосходит единицу); дело обстоит так же и в

отношении а/b; значит, «а» превосходит «b» и точка «С» стоит ближе к В,

чем

к A.

Это соотношение a:b = c:a или AC/CB = AB/AC

может быть выражено следующим образом: длина АВ была разделе-

на на две неравные части таким образом, что большая из ее частей

относится к меньшей, как длина всего отрезка АВ относится

к его большей части:

3) a/b = b/c равноценно a/b = b/(a + b).

В этом случае «b» больше «а»; точка С ближе к А, чем к В, но отношения те

же, что и во втором случае,

Рассмотрим равенство

a/b = c/a = (a + b)/a,

при котором отрезок АС длиннее отрезка СВ. Это общее простейшее

деление отрезка прямой АВ, являющееся логическим выражением

принципа наименьшего действия. Между точками А и В имеется

лишь одна точка C, поставленная таким образом, чтобы длина отрез-

ков АВ, СВ и АС соответствовала принципу простейшего деления;

следовательно, существует только одно числовое выражение, соответствующее

отношению a/b. Эту же задачу можно решить путем гео-

метрического построения, известного как деление прямой на две

неравные части таким образом, чтобы соотношение меньшей и боль-

шей частей равнялось соотношению большей части и суммы длин

обеих частей, а это и соответствует формуле

a/b = (a + b)/a,

которую называют «божественная пропорция», «золотое сечение» т.д.

Изучение объективной реальности и задачи практики привели к

возникновению наряду с понятием симметрия и понятия асимметрии, которое

нашло одно из своих первых количественных выражений в так назыываемом

золотом делении, или золотой пропорции.

Пифагор выразил «золотою пропорцию» соотношением:

А:Н = R:B,

где Н и R суть гармоническая и арифметическая средние между

величинами А и В.

R = (A + B)/2; H = 2AB/ (A + B).

Кеплер первый обращает вни-

мание на значение этой пропорции в ботанике и называет ее

sectio divina — «божественное сечение»; Леонардо да Винчи назы-

вает эту пропорцию «золотое сечение».

Проведем некоторые преобразования вышеприведенной формулы.

Прежде всего разделим на «b» оба элемента второго члена этого

равенства и обозначим

a/b = x; тогда a/b = (a/b + 1)/(a/b),

или x2 = x + 1

Отсюда

x2 - x – 1= 0

Корнями этого уравнения являются

х = 1( (5/2 = 1,61803398 .

45

2

Это число обладает характернейшими особенностями. Обозначим это число

буквой Ф.

Ф = ((5 + 1)/2 = 1,618…; 1/Ф = ((5 – 1) /2 = 0,618…;

Ф2 = -((5 + 3)/2 = 2,618…

Оказывается, что геометрическая прогрессия, в основании которой

лежит Ф, обладает следующей особенностью: любой член этого

ряда равен сумме двух предшествующих ему членов. Ряд 1, Ф, Ф2,

Ф3, ..., Фn является одновременно и мультипликативным, и аддитив-

ным, т. е. одновременно причастен природе геометрической прогрес-

сии и арифметического ряда. Следует обратить внимание на то, что

формула.

Ф = ((5 + 1)/2

выражает простейшее асимметрическое деление прямой АВ. С этой

точки зрения данное отношение является «логической» инвариан-

той, проистекающей из счислений отношений и групп. Пеано,

Бертран Рассел и Кутюра показали, что исходя из принципа тождественности

можно вывести из этих отношений и групп принципы чистой математики.

Любопытно, что древние архитекторы уже пользовались приемом

асимметричного деления. Так, например, стороны пирамиды Фараона

Джосера относятся друг к другу, как 2: /5, а ее высота относится к большей

стороне, как 1: 2.

Интересно, что на сохранившемся до наших дней изображении

древнеегипетского зодчего Хисеры (жил свыше 4,5 тыс. лет тому

назад) имеются две палки — очевидно, эталоны меры. Их длины

относятся, как 1: 1/5, т. е. как меньшая сторона прямоугольного

треугольника к гипотенузе.

Архитектор И. Шевелев рассматривая пропорции древнерусской

архитектуры (церковь Покрова на Нерли и храм Вознесения в

Коломенском) привел убедительные данные, свидетельствующие о

том, что русские архитекторы также пользовались пропорциями,

связанными с «золотым сечением».

Пропорция «золотого сечения» дает возможность архитекторам

находить наиболее удачные, красивые, гармоничные сечения целого

и частей, единство разнообразного; в конечном счете они пользуются

сочетанием принципов симметрии и асимметрии,

Если в период Возрождения внимание ученых и преподавателей

искусства было приковано к «золотому сечению», то впоследствии

оно постепенно падало, и только в 1855 г. немецкий ученый Цейзинг

вновь ввел его в обиход в своем труде

«Эстетические исследования». В нем он писал, что для того, чтобы

целое, разделенное на две неравные части, казалось прекрасным

с точки зрения формы, между меньшей и большей частями должно

быть то же отношение, что и между большей частью и целым,

Применение «золотого сечения» есть лишь частный случай общего закона

периодической повторяемости одной и той же пропорции

в совокупности, в деталях целого,

Рассмотрение вопроса о «золотом сечении» приводит к выводу,

что здесь мы имеем дело с отображением средствами математики

(при помощи понятий симметрии и асимметрии) существующей

в природе пропорциональности.

Все вышеизложенное позволяет утверждать, что взгляды Пифагора и его школы

содержали наряду с мистикой и идеализмом

и некоторые плодотворные математические и естественнонаучные

идеи. Впоследствии учение пифагорейцев получило развитие в философии

крупнейшего представителя античного идеализма Платона.

Мир, утверждал Платон, состоит из правильных многоугольников,

обладающих идеальной симметрией. Физические тела — это идеальные

математические сущности, составленные из треугольников,

упорядоченные демиургом.

Отдельные интересные суждения о симметрии и гармонии мы

встречаем в работах многих философов и естествоиспытателей

(прежде всего Леонардо да Винчи, Лейбница, Декарта, Спенсера,

Гегеля и других). В значительной

степени прав немецкий ученый Венцлав Бодо, когда пишет, что

«философия, за исключением некоторых высказываний, не пыталась

дать объяснение этой интересной стороне природы. На протяжении

веков спорили о причинности, детерминизме и других вопросах,

не видя взаимосвязи их с проблематикой симметрии или не стремясь

к этому. Симметрия, по-видимому, прибавлялась только как искусственная

роскошь к довольно узкому готовому миру вещей с их

свойствами и силовыми взаимодействиями, их движениями и изменениями».

Об определении категорий симметрии и асимметрии

В настоящее время в науке преобладают

определения указанных категорий на основе перечисления их важнейших

признаков. Например, симметрия определяется как совокупность

свойств: порядка, однородности, соразмерности, пропорциональности,

гармоничности и т. д. Асимметрия же обычно определяется

как отсутствие признаков симметрии, как беспорядок, несоразмерность,

неоднородность и т. д. Все признаки симметрии в такого рода

ее определениях, естественно, рассматриваются как равноправные,

одинаково существенные, и в отдельных конкретных случаях при

установлении симметрии какого-либо явления можно пользоваться

любым из них. Так, в одних случаях симметрия — это однородность,

а в других — соразмерность и т. д. Очевидно, что по мере развития

нашего познания к определению симметрии можно прибавлять все новые и новые

признаки. Поэтому определения симметрии такого

рода всегда неполны.

То же можно сказать и о существующих определениях асимметрии. Очевидно,

что в определениях понятий, сформулированных

по принципу перечисления свойств объектов, ими отражаемых,

отсутствует связь между перечисленными свойствами объектов.

Такие свойства симметрии, как, например, однородность и соразмерность, друг

из друга не следуют. Сказанное, однако, не означает бесполезности

вышеуказанных определений симметрии и асимметрии. Наоборот, они весьма

полезны и необходимы. Без них

нельзя дать и более общее определение категорий симметрии

и асимметрии. На основе подобных эмпирических определений

симметрии и асимметрии развиваются определения более общего

характера, сущность которых — в соотнесении частных признаков

симметрии и асимметрии к определенным всеобщим свойствам движущейся

материи. «В симметрии,— пишет А. В. Шубников,—

отражается та сторона явлений, которая соответствует покою, а в

дисимметрии (по нашей терминологии в асимметрии) та их

сторона, которая отвечает движению»

Таким образом, все свойства симметрии рассматриваются как

проявления состояний покоя, а все свойства асимметрии — как

проявления состояний движения. Если признать это правильным,

то очевидно, что соотношение симметрии и асимметрии в таком

случае таково же, как соотношение покоя и движения. Мы, следовательно,

можем сказать, что симметрия относительна, а асимметрия

абсолютна. Симметрию мы должны, далее, рассматривать как частный случай

асимметрии, как ее момент. Поэтому ни о каком равноправии симметрии и

асимметрии и речи быть не может. Взаимоотношение симметрии и асимметрии

здесь явно асимметрично. Но

вряд ли можно с таких позиций правильно понять многие свойства

симметрии и асимметрии. Почему, например,

такую симметрию пространства, как его однородность, должны

рассматривать как соответствующую покою? Почему мы должны искать симметрию

только среди покоящихся

явлений? Разве нет симметрии во взаимодействии и движении явлений мира?

Мысль о связи между понятиями симметрии и асимметрии и соответственно между

понятиями покоя и движения точнее

можно выразить как единство покоя и движения. Понятие сим-

метрии раскрывает момент покоя, равновесия в состояниях движения, а понятие

асимметрии — момент движения, изменения в со стояниях покоя, равновесия. Но

и такой формулировкой не охватывают основные признаки симметрии и

асимметрии. Например, симметрия частиц и античастиц и их ассиметрия в

известной нам области мира не могут быть истолкованы исходя из понятий о

единстве покоя и движения. Вряд ли существование частиц и античастиц можно

рассматривать как момент покоя в каком-то движении материи, а

несоответствие числа частиц числу античастиц в известной нам области мира —

как моменты движения в каком-то состоянии покоя. Можно сделать вывод, что в

идее А. В. Шубникова о соотнесении симметрии с покоем, а асимметрии — с

движением заключается только момент истины.

Хорошо известно, что понятие симметрии охватывает и такие стороны

существования явлений, которые ничего общего с покоем не имеют. Например,

регулярная повторяемость тех или иных состояний движения, их определенная

периодичность является одним из признаков симметрии, но к покою, она

никакого отношения не имеет. Такой вид асимметрии, как анизотропность

пространства, из свойств движения, конечно, выведена быть не может. Тем не

менее многие свойства симметрии и асимметрии соответственно связаны с

покоем и движением.

К общим определениям понятий симметрии и асимметрии можно подойти исходя

из следующих положений:

во-первых, нужно признать, что эти понятия относятся ко всем известным

нам атрибутам материи, что они отражают взаимные связи между ними;

во-вторых, эти понятия основываются на диалектике соотношения тождества и

различия, существующей как между атрибутами материи, так и между их

состояниями и признаками;

в-третьих, нужно иметь в виду, что единство симметрии и асимметрии

представляет собой одну из форм проявления закона единства и

взаимоисключения противоположности. Правильность этих отправных положений

может быть доказана как выводом их из многочисленных частных определений

симметрии и асимметрии, так и правильностью их следствий, т. е.

необходимостью и всеобщностью определений симметрии и асимметрии,

полученных на их основе.

Непосредственной логической основой для определения понятий симметрии и

асимметрии, на наш взгляд, является диалектика тождества и различия. Здесь

нужно отметить, что в диалектике тождество и различие рассматриваются лишь

в определенных отношениях, во взаимодействии, во включении различия в

тождество, а тождества в различие.

Тождество проявляется только в определенных отношениях и в определенных

процессах; тождество всегда конкретно. К тождеству можно отнести:

равновесие, равнодействие, сохранение, устойчивость, равенство,

соразмерность, повторяемость и т. д. Тождество не существует вечно: оно

возникает, становится и развивается. Если дать его общее определение, то

можно сказать, что оно представляет собой процесс образования сходства в

различном и противоположном.

Для того, чтобы имело место тождество, необходимо существование

различного и противоположного. Вне различий тождество вообще не имеет

смысла, поэтому нельзя говорить о тождественном в тождественном, а только в

различном и противоположном.

Характеризуя диалектическое понимание тождества, нужно выделить его

следующие стороны: тождество не существует вне различия и

противоположности, тождество возникает и исчезает; тождество существует

только в определенных отношениях и возникает при определенных условиях,

наиболее полным выражением тождества является полное превращение

противоположностей друг в друга. Проявления тождества бесконечно

многообразны. Поэтому в процессе познания явлений мира нельзя

ограничиваться только установлением тождества между ними, но необходимо

раскрывать то, как возникает это тождество, при каких условиях и в каких

отношениях оно существует. Основываясь на этой характеристике диалектики

тождества и различия, можно сформулировать следующие определения симметрии

и асимметрии.

Симметрия — это категория, обозначающая процесс существования и

становления тождественных моментов в определенных условиях и в определенных

отношениях между различными и противоположными состояниями явлений мира.

Действительно ли является всеобщим

сформулированное нами определение понятия симметрии, охватывает

ли оно все известные нам формы проявления симметрии как в объективном мире,

так и в процессе нашего познания? Очевидно, что

при ответе на этот вопрос придется ограничиться только наиболее

общими характерными примерами. Представим себе две точки, находящиеся по

отношению к какой-то прямой на ее противоположных

сторонах; если эти противоположные точки равноудалены от этой

прямой, то о них говорят как о симметричных по отношению к

данной прямой. Если мы теперь совершим операцию перегиба, то

в результате наши точки полностью совпадут, сольются друг с другом,

следовательно, можно говорить об их полном тождестве. Симметрия

расположения данных точек указывает именно на то, при каком

процессе и при каких условиях они становятся тождественными.

Значит, этот вид симметрии полностью подходит под сформулирован-

ное определение симметрии. Как известно, существует определенная

симметрия между протоном и нейтроном; она выражается в том, что

в условиях сильных взаимодействий они не отличаются друг от друга,

становятся тождественными друг другу. Их симметрия и есть не что иное, как

образование тождества между этими различными части-

цами в процессе сильных взаимодействий. В понятии изотопического

спина как раз и выражаются моменты тождества, имеющиеся у

протонов и нейтронов, т. е. их симметрия в условиях сильного

взаимодействия. Но подходят ли под данное определение симметрии

такие общие симметрии пространства и времени, как, например, их

однородность?

Однородность пространства означает, что по отношению к вза-

имодействиям явлений все места в пространстве тождественны и ни-

как не сказываются на характере взаимодействия. Тождествен-

ность всех мест в пространстве (точек в пространстве) по отноше-

нию к взаимодействиям явлений и есть их,строгая полная симметрия.

То же в общем виде можно сказать и об однородности времени.

Тождественность всех временных интервалов по отношению к взаимо-

. действию явлений и есть их строгая и полная,симметрия. На наш

взгляд, нельзя найти ни одного вида симметрии, который бы

противоречил данному нами определению. Но это не значит, что

данное определение симметрии является законченным и вполне

Страницы: 1, 2