Диплом: Анализ финансовых результатов на примере магазина

значимые связи между переменными и оценена степень их тесноты, переходят к

математическому описанию

Регрессионной моделью системы взаимосвязанных признаков является такое

уравнение регрессии, которое включает основные факторы, влияющие на вариацию

результативного признака, обладает высоким (не ниже 0,5) коэффициентом

детерминации и коэффициентом регрессии, интерпретируемыми в соответствии с

теоретическим знанием о природе связей в изучаемой системе.

Основной задачей линейного регрессионного анализа является установление формы

связи между переменными, а так же выбор наиболее информативных аргументов X

j; оценивание неизвестных значений параметров aj уравнения

связи и анализ его точности.

В регрессионном анализе вид уравнения выбирается исходя из физической

сущности изучаемого явления и результатов наблюдений. Простейший случай

регрессионного анализа для линейной зависимости между зависимой переменной Y

и независимой переменной Х выражается следующей зависимостью:

Y = a0 + a1X + e ,

( 20 )

где a0 – постоянная величина (или свободный член уравнения).

a1 – коэффициент регрессии, определяющий наклон линии, вдоль которой

рассеяны данные наблюдений. Это показатель, характеризующий

процентное изменение переменой Y, при изменении значения X

на единицу. Если a1 > 0 –переменные X и Y

положительно коррелированны, если a2 < 0 – отрицательно

коррелированны;

e - независимая ((М (ei ej ) = 0, при i ¹ j )

нормально распределенная случайная величина – остаток (помеха) с

нулевым математическим ожиданием (me = 0) и постоянной

дисперсией ( De = s2 ). Она отражает тот факт, что

изменение Y будет недостаточно описываться

изменением X – присутствуют другие факторы,

неучтенные в данной модели.

Параметры модели оцениваются по методу наименьших квадратов, который дает

наилучшие (эффективные) линейные несмещенные оценки.

Если записать выражение для определения коэффициентов регрессии в матричной

форме, то становится очевидным, что решение задачи возможно лишь тогда, когда

столбцы и строки матрицы исходных данных линейно независимы. Для

экономических показателей это условие выполняется не всегда. Линейная или

близкая к ней связь между факторами называется коллиниарностью и приводит к

линейной зависимости нормальных уравнений, что делает вычисление параметров

либо невозможным, либо затрудняет содержательную интерпретацию параметров

модели. Чтобы избавиться от коллиниарности, в модель включают лишь один из

линейно связанных между собой факторов, причем тот, который в большей степени

связан с зависимой переменной.

Проверка качества модели

Качество модели оценивается стандартным для математических моделей образом:

по адекватности и точности. Расчетные значения получаются путем подстановки в

модель фактических значений всех включенных факторов.

Кроме рассмотренных выше характеристик, целесообразно использовать

корреляционное отношение (индекс корреляции), а также характеристики

существенности модели в целом и ее коэффициентов.

В качестве

характеристики тесноты связи применяется индекс корреляции (Iyx )

переменных Y по X.

Iyx = 1- (se2 / sy2

) , ( 21 )

где se2 – это дисперсия параметра Х относительно функции

регрессии, то есть остаточная дисперсия, которая

характеризует влияние на Y прочих неучтенных факторов

в модели;

sy2 – полная дисперсия, она измеряет влияние параметра X и Y.

Из этого следует, что 0 £ Iyx £ 1. При этом Iyx

= 0 означает полное отсутствие корреляционной связи между зависимой переменной Y

и объясняющей переменной Х. В то же время максимальное значение индекса

корреляции (Iyx = 1) соответствует наличию чисто функциональной

связи между переменными X и Y и, следовательно, возможность детерминированного

восстановления значений зависимой переменной Y по соответствующим значениям

объясняющей переменной X.

Данный коэффициент является универсальным, так как он отражает тесноту связи

и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи

переменных. При построении однофакторной модели и их линейной зависимости он

равен коэффициенту линейной корреляции.

Коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции), возведенный в

квадрат, называется коэффициентом детерминации. Он показывает долю вариации

результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов,

то есть определяет, какая доля вариации признака Y учтена в модели и

обусловлена влиянием на него факторов.

В качестве меры точности применяют несмещенную оценку дисперсии остаточной

компоненты , которая определяется по формуле:

n _

S = S2 / å (xi – x) ,

(

22 )

i=1

где S2 – дисперсия зависимой переменной Y.

n _ n

S2 = å (yi – yi)2 / n-2 =

å ei2 / n-2

( 23 )

i=1 i=1

Квадратный корень из этой величины (S) называется стандартной ошибкой оценки:

n _

S

а1= S2 / å (xi – x) ,

( 24 )

i=1

Коэффициент а1 есть мера наклона линии регрессии. Очевидно, чем

больше разброс значений Y вокруг линии регрессии, тем больше в среднем ошибка в

определении ее наклона. Кроме того, чем больше число наблюдений n, тем больше

сумма å (xi – x)2 и тем, самым меньше стандартная

ошибка оценки а1 .

Проверка значимости модели регрессии осуществляется по F-критерию (критерий

Фишера), расчетное значение которого определяется по формуле:

Fp = {Q1 * (n - m)} / {Q2 * (m-1)},

( 25 )

где m – число объясняющих (независимых переменных);

n – число наблюдений;

Q1 - сумма квадратов, объясняемая регрессией, то есть сумма

квадратов отклонений обусловленных влиянием признака Х;

Q2 – остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов.

По заданному уровню значимости l и числу степеней свободы k1 =m-1 и k

2 = n-m по таблице F-распределения находится значение Fтабл

и сравнивается с расчетным Fp :

если Fp > Fтабл, то нулевая гипотеза Н0

отвергается и уравнение регрессии (модель) считается значимым;

если Fp < Fтабл, то нет основания отвергать нулевую гипотезу Н0.

Значимость коэффициентов регрессии проверяется с помощью t-критерия, значение

которого рассчитывается по формуле:

t = r / Sr = r n-2 / 1 – r 2

где r – коэффициента уравнения регрессии;

Sr - среднеквадратическое отклонение r.

При заданном уровне значимости l и числе степеней свободы k = n – m – 1

определяется табличное значение t – критерия и сравнивается с расчетным t

p : - если tp > tpасч коэффициент регрессии

является значимым. В противном случае фактор, соответствующий этому

коэффициенту, следует исключить из модели (при этом ее качество не ухудшится).

Оценка влияния отдельных факторов на основе модели.

Коэффициенты регрессии являются именованными числами, выраженными в разных

единицах измерения. Поэтому трудно, а иногда невозможно сопоставить факторы Х

по степени их влияния на зависимую переменную Y. Для устранения этого

недостатка в практике экономического анализа используются следующие

коэффициенты:

коэффициент эластичности Э;

бета – коэффициент, b;

дельта – коэффициент, ∆.

Коэффициент

эластичности имеет вид: Эi = bi * x i

/ y ( 27 )

где bi – коэффициент модели при i– факторе;

х

i – среднее значение i – го фактора;

у – среднее значение зависимой переменной.

Коэффициент эластичности i – фактора Х i говорит о том, что при

отклонении его величины от среднего значения хi на 1%, и при

фиксированных на постоянном уровне значениях других факторов, входящих в

уравнение, объясняемая переменная Y отклониться от своего среднего значения y

на э i процентов. Иначе, - изменение значения фактора Х i

на 1% от его средней величины х i, приводит к изменению значения

объясняемой переменной на э i процентов от ее средней величины.

Бета – коэффициент имеет вид: b i = b i * S i

/ Sy , ( 28 )

где b i - коэффициент модели при i- м факторе;

S i – оценка среднеквадратического отклонения i – го фактора;

Sy - оценка среднеквадратического отклонения зависимой переменной Y.

Бета-коэффициент при факторе X i определяет меру влияния его

вариации на вариацию зависимой переменной Y при фиксированной на одном уровне

вариации остальных независимых факторов, входящих в уравнение регрессии.

Указанные коэффициенты позволяют проранжировать факторы по степени влияния

факторов на зависимую переменную .

Дельта-коэффициент имеет вид:

∆i = ri bi / R2 , ( 29 )

где bi – бета-коэффициент i – го фактора Хi ;

ri – коэффициент парной корреляции i – го фактора Хi и зависимой переменной Y;

R2 – коэффициент множественной детерминации.

Дельта-коэффициент позволяет оценить долю вклада каждой независимой переменной Х

i в суммарное влияние всех факторов.

При корректно проводимом анализе значения ∆ - коэффициентов

положительны, то есть все коэффициенты регрессии имеют тот же знак, что и

соответствующие парные коэффициенты корреляции. Но в случаях сильной

коррелированности факторов некоторые дельта-коэффициенты могут быть

отрицательными вследствие того, что соответствующий коэффициент регрессии

имеет знак, противоположный знаку парного коэффициента корреляции.

Прогнозирование на основе модели регрессии.

Регрессионные модели могут быть использованы для прогнозирования возможных

ожидаемых значений переменной. При это перенос закономерности связи,

измеренной в исследуемой совокупности в статике на динамику, не является

корректным и требует проверки условий допустимости такого переноса

(экстраполяции).

Ограничением прогнозирование на основании регрессионной модели служит условие

стабильности или малой изменчивости других факторов и условий изучаемого

процесса, не связанных с ними.

Прогнозируемое значение переменной Y получается при подстановке в уравнение

регрессии: ŷ n+k = a0 + a1 x

n+1

ожидаемой величины фактора Х. Данный прогноз называется точечным. Возникает

ограничение при выборе ожидаемой величины Х: нельзя подставлять значения

независимой переменной xn+k , значительно отличающейся от входящих в

исследуемою выборку, по которой вычислено уравнение регрессии.

Вероятность реализации точечного прогноза практически равна нулю. Поэтому

рассчитывается средняя ошибка прогноза или доверительный интервал с

достаточно большой надежностью.

Средняя ошибка линии регрессии в генеральной совокупности при значении фактора x

n+k вычисляется для линии регрессии по формуле:

_ n _

m Ŷk

= Stтабл 1 / n + (xn+k – x ) 2 /

å (xi - x ) 2 ,

( 31 )

i =1

где tтабл - табличное значение t – статистики с уровнем значимости

l и степенью свободы (n - 2);

S – стандартная ошибка зависимой переменной.

Границы доверительного интервала вычисляются, соответственно, как:

нижняя граница - UH(k) = ŷ n + k – m y k ;

верхняя граница – UB(k) = ŷ n + k + m ŷ k.

Средняя ошибка прогноза для индивидуального значения зависимой переменой Y от

линии регрессии вычисляется по формуле:

__ n _

m ŷ (xk)

= Stтабл 1 +1 / n + (xn+k – x ) 2 /

å (xi - x ) 2

(32 )

i =1

Критерием прогнозных качеств оцененной регрессионной модели может служить

относительная ошибка прогноза:

__

V = S / y ,

( 33 )

где S - стандартная ошибка зависимой переменной;

y - среднее значение фактических данных зависимой переменной.

Если величина V мала и отсутствует автокорреляция остатков (то есть

систематичность отклонений зависимой переменной от линии регрессии), то

прогнозные качества модели высоки. Автокорреляция остатков проверяется с

помощью критерия Дарбина – Уотсона, рассчитываемая по формуле:

n n

d p = å (ei - e i-1)2 /

å ei2 ,

(

34 )

i =1 i =1

и сравнивается с табличными значениями d1 и d2,

определенными по таблице с уровнем значимости l и числом степеней свободы k =

n: при dр > d2, то корреляция отсутствует.

Если построенная регрессионная модель адекватна и прогнозные оценки факторов

достаточно надежны, то с выбранной пользователем вероятностью можно

утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития

прогнозируемая величина попадет в интервал, образованный нижней и верхней

границами.

3.2 Экономико – математическое моделирование прибыли ГУСП

«Башхлебоптицепрома»

В корреляционной матрице дается критическое значение коэффициента корреляции

на уровне 90 % при двух степенях свободы:

уровень 90 % - это надежность получаемых результатов, она задается

исследователем;

две степени свободы – это количество исследуемых одновременно параметров.

Все коэффициенты корреляции, табличные значения которых, меньше критического

значения коэффициента корреляции (+ 0,2920), принимается равным нулю, то есть

корреляционная связь между переменными является не значимой. Качественная

оценка коэффициентов корреляции осуществляется на основе шкалы Чеддока.

Проанализируем силу связи зависимой переменной Y с независимыми переменными Хi.

Целью данного исследования является построение «лучшей» модели для

определения влияния составляющих затрат на изменение выручки от реализации

товара на изменение прибыли, а также для прогноза прибыли на последующие 3

этапа, а именно на 3 месяца.

Для проведения исследования необходимы исходные данные. В данной задаче

анализу подвергаются 7 составляющих затрат, с целью выявления их влияния на

выручку от реализации товара.

Для проведения исследования по выявлению влияния составляющих затрат на

выручку использовались данные бухгалтерского учета (журнал-ордер № , главная

книга) ГУСП, представленные в таблице «Статистика данных по ГУСП

«Башхлебоптицепрому» ( см. приложение № 5 ). В качестве исходных данных

необходимых для проведения исследования выбираем статьи издержек обращения по

44 счету, наиболее значимые для расчета данного показателя с экономической

точки зрения (см. приложение 5) .

Таблица с исходными данными состоит из столбцов и строк. По столбцам

отражается временной интервал. В качестве периода исследования берем период

по месяцам с июля 1998 года по март 2000 года. Этот временной интервал

позволяет прогнозировать с достаточным количеством точек необходимым для

получения адекватной модели с достаточной степенью точности. По строкам

отражаются исследуемые переменные:Y – зависимая переменная, в нашем примере

это показатель выпучки; Х – независимые переменные, а именно это:

Х1 – заработная плата;

Х2 – аммортизация основных средств;

Х3 – горюче-смазочные материалы;

Х4 – услуги охраны

Х5 – электро-энергия

Х6 – ремонтные работы

Х7 – запчасти

Все числовые данные представлены в тысячах рублей.

Прежде, чем построить модель, необходимо произвести предварительную

обработку данных, которая включает в себя получение корреляционной матрицы

(см. приложение 6).

Корреляционная матица есть квадратная матрица парных коэффициентов корреляции.

Нумерация переменных соответствует приложению 5. Например, показатель 1 – это

Y, показатель 2 - это Х1 и так далее.

Для проведения исследования взяты составляющие издержек обращения, а именно:

заработная плата, амортизация основных средств, ГСМ, охрана, электро-энергия,

ремонтные работы, запчасти для автомашин за отчетный период.

В качестве временного интервала для исследования взят период с июля 1998 года

по март 2000 года., т.е. после кризисный период , когда произошли большие

изменения в экономике страны, повлекшие за собой изменения в экономике и

финансах предприятий. Для исследования данный период был взят для того, чтобы

не было искажений и «скачков» в результатах, а также потому, что данный

период имеет достаточное количество точек для получения адекватной модели .

Для проведения исследования составляющих выручки от реализации товара на

прибыль применялись корреляционный и регрессионный анализ. Выполнение

расчетов производилось с использованием стандартного программного продукта

«СтатЭксперт . Исследование проводилось в 2 этапа:

Корреляционный анализ

Регрессионный анализ с прогнозом.

Корреляционный анализ:

Прежде чем построить модель необходимо провести предварительную обработку

данных, которая включает в себя получение корреляционной матрицы исходных

данных, используя коэффициенты парной корреляции. Результаты расчетов

представлены в приложении 6.

Данная таблица есть корреляционная матрица, где по строкам и столбцам

представлены исследуемые параметры, обозначенные как показатели 1,2,3,..11,

нумерация которых соответствует порядку параметров, представленных в таблице

, то есть показатель – 1 есть выручка, показатель 2 – заработная

плата,..,показатель 8 – запчасти.

В корреляционной матрице дается критическое значение на уровне 90 % при 2-х

степенях свободы равный 0,2920. Это означает, что надежность получаемых

результатов в исследовании составляет 90 %, а две степени свободы – это

количество исследуемых одновременно параметров. Критическое значение равное +

0,2920 используется для анализа таблицы . Коэффициенты корреляции ,

находящиеся в таблице , значение которых ниже 0,2920 (r ij< r i крит.)

принимаются за величину равная нулю, то есть корреляционная связь между

переменными считается не значимой или отсутствует.

На основании неравенства r ij< r i крит. корреляционная взаимосвязь

отсутствует между следующими независимыми переменными (хi) с зависимыми

переменными ( У- выручка). В регрессионном анализе данные показатели не

учитываются.

Оценка коэффициентов корреляции осуществлялась на основе шкалы Чеддока:

Таблица 14

Шкала Чеддока

№ п/п	Критическое значение коэффициента	Показатель связи
1	0,1 – 0,3	слабая корреляционная связь

Таблица 14

1	2	3
2	0,3 – 0,5	умеренная корреляционная связь
3	0,5 – 0,7	заметная корреляционная связь
4	0,7 – 0,9	высокая корреляционная связь
5	0,9 – 1,0	весьма высокая корреляционная связь

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9