Концепция современного естествознания

систем вводятся модели. Простейшей моделью, на которой удобно

изучать механическое движение, является материальная точка,

т.е. тело, имеющее массу, но не имеющее геометрических

размеров. Материальная точка - это абстракция, модель; таких

тел в природе не существует.

Когда же реальную систему можно заменить точкой? Играют ли

при этом решающую роль ее размеры? Тело можно заменить

материальной точкой, если в рамках поставленной задачи можно

пренебречь его размерами и формой, т.е. если перемещение тела

много больше размеров самого тела. Одно и тоже тело в одних

условиях можно считать материальной точкой, а в других - нет.

Например, наша планета огромна по сравнению с размерами

человека, и если человек огибает земной шар, то его движение

можно представить как движение точки на огромном глобусе. В

свою очередь, размеры земной орбиты во столько же раз больше

размеров Земли, во сколько раз сама Земля больше человека. Так

что, и Землю можно считать материальной точкой при ее движении

вокруг Солнца.

Еще один пример. При измерении пройденного автомобилем

расстояния никому не придет в голову вопрос, до какой точки

автомобиля это расстояние мерить, однако, когда тот же

автомобиль заезжает в гараж необходимо следить, чтобы он

никакой своей частью ни за что не зацепился. В первом случае

автомобиль можно заменить материальной точкой, а во втором -

нельзя, т.к. обязательно нужно учитывать его форму и размеры.

Таким образом, допустимость модели материальной точки,

как, впрочем, и любой физической модели, определяется

условиями поставленной задачи и требуемой точностью искомого

результата.

Раздел механики, в котором описывается движение тела, и не

вскрываются причины, его вызывающие, называется кинематикой.

Для описания движение тела, необходимо ввести систему

отсчета, относительно которой задать его координаты, ввести

динамические переменные, описывающие изменение положения тела

во времени и ввести законы движения тела. Вообще говоря,

система отсчета должна в себя включать систему тела, которые

мы считаем неподвижными и часы. С системой неподвижных тел

необходимо связать систему координат, например декартовых.

Положение точки в координатном пространстве задается радиусом-

вектором r(t), т.е. вектором, проведенным из начала координат

в выбранную точку. Начальное положение тела задается радиусом-

вектором в начальной момент времени r0 = r(t0), как это

показано на рис.9.1. Положение точки в пространстве с течением

времени меняется, и конец радиуса-вектора вычерчивает линию,

которая называется траекторией движения.

Траекторию можно разбить на бесконечно малые участки - dr, как это показано

на рисунке 9.2. Поскольку перемещение dr, бесконечно мало, оно лежит на

траектории движения. Время dt, за которое происходит это перемещение, тоже

бесконечно мало. Перемещение dr и время dt связаны друг с другом при помощи

динамического параметра - мгновенной скорости, определение которой:

((t)=dr(t)/dt (9.1).

Траекторию можно разбить на бесконечно малые участки - dr, как это показано

на рисунке 9.2. Поскольку перемещение dr, бесконечно мало, оно лежит на

траектории движения. Время dt, за которое происходит это перемещение, тоже

бесконечно мало. Перемещение dr и время dt связаны друг с другом при помощи

динамического параметра - мгновенной скорости, определение которой:

((t)=dr(t)/dt (9.1).

dr

Dr

r(t0)= r0

r(t)

r(t)

O O

Рис.9.1 Рис. 9.2

Траекторию можно разбить на бесконечно малые участки - dr,

как это показано на рисунке 9.2. Поскольку перемещение dr,

бесконечно мало, оно лежит на траектории движения. Время dt,

за которое происходит это перемещение, тоже бесконечно мало.

Перемещение dr и время dt связаны друг с другом при помощи

динамического параметра - мгновенной скорости, определение

которой:

((t)=dr(t)/dt (9.1).

Таким образом, dr = (dt, следовательно, направление

мгновенной скорости совпадает с направлением элементарного

перемещения dr. Иными словами, мгновенная скорость всегда

направлена по касательной к траектории. По правилу сложения

векторов сумма всех dr плюс r0 даст нам вектор r. Но, операция

суммирования по бесконечно малым величинам называется

интегрированием. Таким образом, проясняется наглядный смысл

интегрирования векторной функции и правило вычисления значения

r(t), в любой момент времени.

r(t)=r0+[pic]((t)dt

(9.2)

Скорость материальной точки, в свою очередь, тоже может

меняться со временем. Удобно ввести еще один динамический

параметр - ускорение, которое тоже является векторной

величиной и тоже может зависеть от времени и координат:

a(t)=d((t)/dt

(9.3).

Из этого определения следует, что d((t)=a(t)dt. Если

функция a(t) известна, то с ее помощью можно найти скорость

тела в любой момент времени, а зная ее, при помощи (9.2) можно

найти положение тела в любой момент времени.

((t)=(0+[pic]а(t)dt

(9.4),

r(t) = r0 +[pic]((0

+[pic]а(t)dt)dt или

r(t)=r0+(0(t-t)+[pic]а(t)dtdt

(9.5).

В этих формулах (0 - начальная скорость тела, т.е. его

скорость в момент времени t0.

Таким образом, если нам известны начальное положение

материальной точки - r0 и начальная скорость - (0, а также

зависимость вектора скорости или вектора ускорения от времени,

можно найти координаты системы в любой последующий момент

времени - r(t).

Только что мы рассмотрели и обозначили путь решения

основной задачи кинематики. При решении этой задачи не

ставился вопрос, за счет чего меняется ускорение тела, но в

рамках кинематики такой вопрос не ставится. Рассматривалось

положение тела в произвольные моменты времени.

В ряде случаев требуется найти не только положение тела,

но и тот путь, который оно пройдет. Пройденный путь есть

скалярная величина, она обозначается S и численно равна длине

траектории. Из рисунка очевидно, что путь в общем случае не

равен длине (модулю) вектора перемещения [pic]r. Чтобы найти

пройденный путь S необходимо просуммировать длины вектора dr,

т.е. провести интегрирование по модулю вектора dr:

[pic].

Здесь надо помнить, что модуль вектора, т.е. его длина

всегда положительна. При выполнении расчета по этой формуле

((t) всегда надо брать со знаком плюс.

В случае одномерного движения, когда тело перемещается

вдоль прямой, векторную функцию можно заменить ее проекцией на

выбранную ось. Проекции вектора на другие оси равны нулю,

поэтому можно не пользоваться понятием вектора.

10. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.

10.1. Основные положения механики Галилея.

Классическую механику будем рассматривать в контексте тех

принципов, которые использовались при ее становлении вплоть до

развития современной физики. Не надо думать, что развитие

современной физики перечеркнуло всю классическую механику и

заставило использовать при описании какие-то принципиально

новые положения. Классическая механика, в сформированном

Ньютоном виде, играет большую роль в современной науке и

технике. Достаточно сказать, что такая большая область

техники, как машиностроение, целиком базируется на законах

классической механики. При дальнейшем рассмотрении настоящего

раздела нас будет интересовать в основном следующие положения.

Классическая механика развилась как раздел науки (физики)

в котором рассматривалось механическое движение макросистем,

т.е. систем, размеры которых определяются окружающими нас

телами. Диапазон масс и размеров огромен. С одной стороны это

и атомы, из которых состоят вещества, и движение которых мы

можем с большой точностью описывать классическими понятиями. С

другой стороны это и такие большие образования, как планеты и

звезды.

Механическое движение рассматриваемых систем определяется

скоростью движения системы. Хотя скорость понятие

относительное, но всегда можно выбрать какую-то систему

отсчета, относительно которой мы и рассматриваем скорость.

Такой системой отсчета может быть и наша Земля, и наше Солнце,

и центр нашей галактики. Все эти системы отсчета движутся друг

относительно друга с небольшими, по сравнению с скоростью

света, скоростями. В настоящем разделе будут рассматриваться

движения, на скорость которых накладывается условие: (((с, где

с ( 3(108 м/с - скорость света в вакууме. Законы движения,

которые будут рассмотрены, справедливы с точностью порядка

(/с.

Существуют ограничения и на минимальную скорость. Из

школьного курса нам известно, что скорость движения атомов, из

которого состоит система определять его температуру. Основные

явления и эффекты, рассматриваются в классической механике при

температурах тел, далеких от абсолютного 0. Если масса системы

мала (например, исследуются отдельные атомы или молекулы), а

её температура стремится к абсолютному нулю, то наблюдаются

квантовые явления, не описываемые в рамках классической

физики.

Все теории, созданные до становления современной физики,

базировались на принципе, “Природа не терпит разрывов”.

Изменение состояния системы происходит не мгновенно, а плавно.

Все процессы и явления развиваются постепенно, плавно

переходя из одного состояния в другое. Именно это положение и

лежало в основе математического аппарата, разработанного

Ньютоном и Лейбницем - дифференциального и интегрального

исчислений.

Последнее замечание, которое необходимо сделать. В одном

из прошлых разделов рассматривались принципы дальнодействия и

близкодействия. На заре развития классической механики

подразумевалось, что взаимодействие тел происходит мгновенно.

Использовался принцип дальнодействия. В этом случае, коль

скоро взаимодействие передается мгновенно, в разных системах

отсчета можно было вводить одинаковое время. Например,

считалось, что всегда можно синхронизовать часы, находящиеся в

любой точке пространства (например, на Земле и в центре

Галактики) и считать, что время в разных точках пространства

ни от чего не зависит и одинаковое.

Прежде, чем перейти к дальнейшему рассмотрению, вспомним,

что такое сила. В механике силой называется мера воздействия

на выбранное материальное тело со стороны других тел. Это

действие вызывает изменение скоростей точек тела или его

деформацию. Воздействие может передаваться как при

непосредственном контакте (давление прижатых друг к другу тел,

трение и т.д.), так и посредством создаваемых телами полей

(гравитационные, электромагнитные силы). Сила - величина

векторная, в каждый момент времени она характеризуется

численным значением, направлением в пространстве и точкой

приложения. Сложение сил осуществляется по правилу сложения

векторов- правилу параллелограмма. Прямая, вдоль которой

направлена сила назовется линией действия силы. Обычно силу

обозначают F. В общем случае сила может зависеть от координат

и времени, т.е. F = F(x,y,z,t ).

Законы физики всегда базируются на опытах, экспериментах.

Именно в рамках такого подхода Галилей создал основы

классической механики. Обратимся к некоторым из опытов

Галилея. Напомним, что в основе механики Аристотеля,

доминировавшей в тот период, лежало утверждение, что скорость

тела пропорциональна приложенной силе: (~F. Этот вопрос мы уже

обсуждали и пришли к выводу, что кажущееся проявление действие

силы связано с наличием в природе сил трения. Именно Галилей

доказал неверность положения физики Аристотеля.

В Италии в городе Пизе, в котором проживал Галилей,

имеется высокая Пизанская башня. Она интересна тем, что стоит

не вертикально, как все здания, а сильно наклонена под углом

(рис.10.1). Галилей осуществил эксперимент в ходе которого он

определял время, необходимое для падения тел с вершины

Пизанской башни.

Попытаемся восстановить ход рассуждений Галилея во время его экспериментов.

Возьмем несколько шаров одинакового размера, изготовленных из разного

вещества: свинца, меди, чугуна, дерева. Все эти тела при одинаковых

размерах и форме имеют разный вес. Вес тела характеризует силу тяготения,

действующую на тело со стороны Земли. Сила тяготения, действующая на тело

равна его весу. Если справедливо утверждение Аристотеля, то разные тела с

разным весом должны обладать разными скоростями падения и, соответственно,

достигать поверхности земли при бросании с башни за разные промежутки

времени. Однако, эксперименты, проведенные с разными телами показали, что

они достигали поверхности земли за практически одинаковые промежутки

времени.

S

h

Рис.10.1 Рис.10.2

Вывод из этих опытов однозначен. Скорость тела не определяется приложенной

силой. Приложенной силой определяется какой-то другой динамический

параметр. Галилею потребовалось много лет и много усилий, чтобы выяснить,

что же это за параметр. В этой области наиболее известны его эксперименты с

движением шаров по наклонной плоскости. Схема его опытов приведена на

рис.10.2. Шары скатывались по наклонной плоскости, длина которой и высота

были заданы. В ходе опыта Галилей определял путь S , проходимый телом в

зависимости от времени t. Им был установлен закон, являющийся частным

случаем второго закона Ньютона. Путь, проходимый телом квадратично зависит

от времени: [pic], где константа [pic](сейчас она называется ускорением)

прямо пропорциональна высоте h и обратно пропорциональна длине пути S, т.е.

[pic]. Начальная скорость тела - (0 в его опытах могла меняться. Этот закон

сегодня можно легко вывести из 2-го закона Ньютона для равноускоренного

движения. В опытах Галилея ускорение определялось ускорением свободного

падения: [pic].

Анализируя проводимые эксперименты, Галилей пришел к выводу о существовании

закона инерции. Действительно, если устремить длину основание наклонной

плоскости к бесконечности, ускорение будет стремиться к нулю, значит, за

равные промежутки времени тело будет проходить равные отрезки пути и

скорость тела будет постоянной. Тело будет само по себе двигаться по

инерции.

Кроме экспериментов Галилей использовал умозрительные заключения. Он

рассмотрел поведение тел и живых существ внутри корабля. Их поведение не

зависит от того, стоит корабль у причала или двигается по спокойной воде с

постоянной скоростью. Анализ этой ситуации привел его к выводу, что если

корабль будет двигаться с постоянной скоростью, то находясь внутри корабля

невозможно определить, движется он или стоит.

10.2 Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея.

Галилей ввел понятие инерциальной системы отсчета, в которой тело сохраняет

состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не

действуют другие тела (силы). Напомним, что понятие системы отсчета

включает в себя систему координат и часы. Инерциальных систем отсчета

может быть бесконечное множество.

Принцип относительности Галилея заключается в том, что все физические

законы не меняются (инвариантны) в разных инерциальных системах отсчета.

Если быть более строгими, то принцип относительности Галилея заключался в

том, что все законы механики инвариантны ( т.е. не меняются) при

применении к ним преобразований Галилея.

Для перехода из одной инерциальной системы отсчета в другую Галилей ввел

преобразования, которые теперь называют преобразованиями Галилея.

Рассмотрим следующую ситуацию. Пусть у нас имеется инерциальная система

отсчета, положение тел в которой задается декартовыми координатами.

Например, точка А на рис. 10.3.

Кроме системы координат XYZ (ее обычно обозначают К), может быть и другая

инерциальная система координат, например, X’Y’Z’ (назовем ее К’).

Инерциальная система координат К’ движется с постоянной скоростью u

относительно системы К. Пространство изотропное, в нем не существует

выделенного направления, поэтому удобно выбрать направление оси OX

совпадающим с направлением скорости u. Т.е. система К’ движется вдоль оси

OX системы отсчета К.

y’

y

v

О’ x’

z’ O x

z

x

Рис.10.3

Положение точки А в системе К задается вектором r(x,y,z) или его проекциями

на оси OX, OY и OZ, которые равны, соответственно, x, y и z. Положение той

же точки в системе К’ задаются координатами x’, y’ и z’. Связь между x, y,

z и x’, y’, z’ дается преобразованиями Галилея:

[pic]

Дополнительно к преобразованиям координат введено преобразование времени.

Одинаковость хода часов в разных инерциальных системах отсчета

соответствует концепции дальнодействия, рассмотренной выше.

Введем понятие инварианта и инвариантности. Инвариантность означает

независимость, неизменность относительно каких-либо физических условий. В

математике под инвариантностью понимается неизменность величины

относительно каких-либо преобразований. Рассмотрим, какие параметры не

меняются при преобразованиях Галилея, т.е. являются инвариантами этих

преобразований.

Первый из этих параметров - время. При переходе от одной инерциальной

системы отсчета к другой не меняется как само время t=t’, так и

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6