Концепция современного естествознания

отсчета K’, связанной с телом, то импульс будет инвариантен к

преобразованиям Лоренца и будет сохраняться. Нужно заменить [pic] на [pic].

Связь промежутков времени в различных инерциальных системах отсчета

задается формулой (12.3). [pic].

Здесь mo - классическая масса тела, ( - его скорость, измеряемая в

лабораторной системе К, а m - релятивистская масса: [pic].

Таким образом, импульс тела формально записывается также, как и в

классической механике, но понятие массы наполняется новым содержанием.

Масса в специальной теории относительности зависит от скорости частицы.

Классическую массу частицы mo можно назвать массой покоя. Масса покоя

равна массе тела, измеренной в той инерциальной системе отсчета, где тело

покоится. Ни в какой системе отсчета масса тела не может быть меньше массы

покоя. Масса покоя - еще один инвариант преобразований Лоренца.

Основное уравнение динамики движения релятивистской частицы имеет вид,

схожий с основным уравнением движения классической динамики:

[pic] однако, при дифференцировании по времени правой части нужно учесть,

что релятивистская масса не есть постоянная величина. Отметим, что

классическая формулировка второго закона Ньютона [pic] несправедлива даже с

релятивистской массой.

Уравнения динамики релятивистской частицы (12.5-12.7) нашли блестящее

подтверждение уже в 30-х годах нашего века при разработке первых

ускорителей электронов, которые были названы бетатронами. На бетатронах

электроны ускорялись в переменных электрических полях и приобретали

скорость, сравнимую со скоростью света. Тогда то и было обнаружено, что

масса частицы и траектория ее движения зависят от скорости в полном

соответствии с формулами (12.5-12.7).

Уравнения релятивистской динамики позволили Эйнштейну найти связь массы и

энергии тела. Попробуем вслед за ним найти количественной соотношение между

этими величинами. Для этого преобразуем уравнение (12.6):

[pic]Если дифференциалы величин равны, то сами величины могут различаться

на постоянную величину: [pic]. Значение этой константы можно найти из

условия, что при [pic], выражение для кинетической энергии должно

стремиться к [pic] Значение ее окажется равным [pic]. Таким образом,

получаем релятивистское выражение для кинетической энергии: [pic].

Отметим, что классические выражения для кинетической энергии, как [pic]

неприменимы, даже если в них подставить релятивистские массы.

Второе слагаемое в этом выражении имеет смысл энергии покоя, внутренней

энергии тела, энергии связанной с самим фактом существования тела и

наличием у него массы в неподвижном состоянии. Сумма кинетической энергии и

энергии покоя называется полной энергией тела. Выражение для полной энергии

можно получить из формулы (12.9).

[pic].

Мы получили самую известную формулу 20-го века, которая устанавливает

количественную связь между энергией и массой. Ее можно трактовать следующим

образом. Между полной энергией системы Е и ее массой m существует связь,

определяемая формулой (12.10). Энергия при определенных условиях может

переходит в массу, а масса - в энергию. Однако, понятие энергии не сводится

только к массе и наоборот, масса не сводится только к энергии. Тем самым

установлена связь между мерой количества материи - массой и мерой движения

материи - энергией. Эта связь является отражением факта, что материя без

движения, также, как и движение без материи не существует.

Рассмотрим пример, в котором полученная формула играет определяющую роль.

При делении ядра урана образуется два более легких ядра. При этом масса

ядра урана больше суммы масс образовавшихся ядер на величину (m. Дефект

массы (m не исчезает, а переходит в кинетическую энергию осколков -

дочерних ядер: (Е((m(c2. Кинетическая энергия этих осколков - и есть та

энергия, которая высвобождается при взрыве атомной бомбы или в атомном

реакторе.

13. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

13.1 Законы сохранения, как отражение симметрии процессов преобразования.

Идея сохранения, следствием которой являются законы сохранения, появилась

сначала как чисто философская догадка о наличии стабильного, неизменного в

вечно изменяющемся мире. Еще античные философы-материалисты пришли к

понятию материи - неучтожимой и несотворимой основы всего существующего. С

другой стороны, наблюдения постоянных изменений в природе приводило к

представлению о вечном движении материи как важнейшем ее свойстве и, как

следствие этого, к изменяемости одних и неизменности других свойств

материи.

В этом разделе мы рассмотрим законы сохранения как отражение некоторых

операций, вводимых в физике. Напомним, что законами сохранения называются

те закономерности, согласно которым численные значения некоторых параметров

или величин не меняются со временем в любых процессах или в определенном

классе процессов.

Важнейшими законами сохранения, справедливыми для любых изолированных

систем, являются законы сохранения энергии, импульса, момента импульса и

электрического заряда.

Полное описание физической системы возможно только с использованием

динамических законов. Так описание движения материальной точки возможно с

использованием законов динамики или законов Ньютона. Однако во многих

случаях динамические законы системы либо неизвестны вообще, либо они

настолько сложны, что не поддаются анализу. В таких случаях законы

сохранения позволяют сделать заключения о характере поведения системы.

Причем, зачастую, это можно сделать очень простым образом.

Вспомним школьную задачу о падения тела с высоты h. Скорость тела в момент

удара о землю можно найти с использованием законов динамики: первого и

второго законов Ньютона. Но, эту же задачу можно решить, используя закон

сохранения механической энергии, как говорится, в одну строку. Приведем это

решение.

Энергия тела до падения определялась его потенциальной энергией [pic].

После момент ударом о землю его потенциальная энергия полностью перешла в

кинетическую и стала равной [pic]. Поскольку, значение энергии в процессе

падения сохранилось, названные можно приравнять и получить скорость тела в

момент падения.

[pic].

Решение задачи оказалось очень простым, благодаря использованию закона

сохранения механической энергии. Очень часто решение других, гораздо более

сложных задач значительно упрощается с использованием других законов

сохранения. Приведенный пример показывает, что чем больше законов

сохранения нам известно, тем легче и точнее мы можем описывать поведение

сложных систем. Возникает интуитивное понимание того, что законы

сохранения являются отображением каких-то более общих закономерностей

природы.

Целью настоящего раздела является рассмотрение связи законов сохранения с

некоторыми математическими операциями и преобразованиями, которые будут

введены ниже.

Любая физическая система может быть подвергнута каким-либо операциям или

преобразованиям, не изменяющим ее состояния или ее свойств. Например, можно

перейти из одной инерциальной системы отсчета в другую с использованием

преобразований Галилея. Если физические законы, устанавливающие связь между

физическими величинами или параметрами, не меняются в результате таких

операций или преобразований, то говорят, что эти законы инвариантны

относительно этих преобразований или обладают симметрией к этим

преобразованиям.

Введем некоторые из преобразований пространства и времени. Первое из них -

это перенос или сдвиг системы как целого в пространстве. Такая операция

преобразования сводится к переносу начала отсчета, либо всей системы

отсчета и задается вектором. Симметрия физических законов относительно

сдвигов в пространстве означает эквивалентность всех точек пространства. Не

существует какой-то "особой" точки в пространстве, которую можно было бы

выделить для введения абсолютной системы отсчета, абсолютной системы

координат. Этот важнейший факт принято называть однородностью пространства.

Второе преобразование - это поворот системы отсчета или системы координат в

пространстве. Его можно свести к поворотам системы относительно одной или

всех координатных осей. Симметрия физических процессов и законов

относительно этого преобразования связана с изотропностью пространства,

т.е. с эквивалентностью всех направлений в пространстве. Нет такого

направления, относительно которого мы могли бы задать, например, ось (ох),

и которое имело бы преимущества перед другими направлениями. Все

направления в пространстве равноценны.

Третье преобразование - сдвиг во времени или изменение начала отсчета

времени. Симметрия физических законов относительно сдвига во времени

означает, что законы, явления, процессы не меняются со временем, т.е.

физический процесс или явление можно повторить или воспроизвести.

Безразлично, в каком времени рассматривать физический процесс, в прошлом, в

настоящем или в будущем; он всегда будет протекать одинаково. Благодаря

этому обстоятельству можно произвольно выбирать начало отсчета времени.

Кроме названных существует еще большое количество специальных

преобразований, применимых к конкретным законам. Некоторые из них уже

известны, с другими познакомимся позже.

В 1918 году немецкий математик Э.Нетер (1882-1935) сформулировал теорему,

названную позднее его именем. Эта теорема играет огромную роль в физике и

во всем естествознании. Она устанавливает связь между свойствами симметрии

физической системы и законами сохранения. Не вдаваясь в математическую

сторону дела, рассмотрим идею теоремы Нетера. Для физической системы,

состояние которой описывается системой дифференциальных уравнений, каждому

преобразованию, непрерывно зависящему от какого-либо параметра (скорости,

времени, координат и т.д.), соответствует свой закон сохранения. При этом

на преобразования накладывается условие: при его применении должен остаться

инвариантным (т.е. неизменным) некий параметр - действие (S). Действие -

это физическая величина, имеющая размерность произведения энергии на время

или импульса на координату.

Действие - очень важный параметр в физике. Он позволяет сформулировать

принцип наименьшего действия. Содержание этого принципа заключается в том,

что если система переходит из одного состояния в другое, то этот переход

осуществляется таким образом, чтобы изменение действия было бы минимальным.

Использование принципа наименьшего действия дает еще одну возможность

описать поведение системы, найти уравнения ее движения, изучить ее

движение. В общем случае, принцип наименьшего действия указывает, в каком

направлении должно изменяться состояние системы. Из этого принципа,

например вытекают все законы геометрической оптики как в однородной, так и

в неоднородной среде. К сожалению, детальное изучение принципа наименьшего

действия требует знание таких разделов высшей математики, как вариационное

исчисление, и невозможно в рамках настоящего курса.

13.2. Фундаментальные законы сохранения.

Существует ограниченное число законов сохранения, общих для классической и

современной физики. В их числе назовем следующие фундаментальные законы

сохранения:

- закон сохранения энергии и массы,

- закон сохранения импульса или количества движения,

- закон сохранения момента импульса или

момента количества движения,

- закон сохранения электрического заряда.

При применении этих законов в первую очередь надо помнить, что они

справедливы для изолированных систем. Т.е. систем, которые не

взаимодействуют с окружающими системами или телами. Однако, не меняющийся в

изолированной системе параметр (импульс, момент импульса, энергия, заряд и

др.), может изменяться при взаимодействии этой системы с другими системами

или объектами. Например, импульс тела р(m( остается неизменным до тех пор,

пока тело не взаимодействует с другими телами. Импульс тела изменяет

действующая на него сила. Однако, если расширить систему и включить в нее и

второе тело, то суммарный импульс первого и второго тел окажется

постоянным.

Рассмотрим подробнее законы сохранения с точки зрения их преобразований

симметрии в природе. Начнем с закона сохранения энергии. Его формулировка

достаточно проста. Полная энергия изолированной системы остается постоянной

и не меняется во времени. Более точную формулировку этого закона дадим в

конце раздела. Обратимся снова к уже рассмотренному примеру. Пусть

некоторое тело поднято на высоту [pic] над поверхностью земли. В таком

случае оно обладает потенциальной энергией [pic]. Если это тело отпустить,

то оно станет падать на землю; при этом его высота, а следовательно, и

потенциальная энергия уменьшается. Она переходит в другой вид энергии - в

кинетическую энергию. До тех пор, пока тело не упало, сумма потенциальной и

кинетической энергии остается постоянной.

Что произойдет с энергией тела в момент, падения на землю. Тело

остановится, следовательно, его кинетическая энергия относительно земли

станет равной нулю. Куда денется энергия. Она не исчезнет, а перейдет в так

называемую внутреннюю энергию. Внутренней энергией тела называется сумма

кинетических и потенциальных энергий всех атомов, из которых состоит тело.

Внутренняя энергия обычно определяется параметром системы, который

называется температурой. Чем больше температура, тем больше внутренняя

энергия и тем больше скорости атомов, составляющих эту систему. Таким

образом, при падении тела на поверхность земли а его потенциальная энергия

сначала переходит в кинетическую, а затем - во внутреннюю энергию системы

тело- земля. Поскольку мерой внутренней энергии системы является

температура, потенциальная энергия поднятого тела после его падения пойдет

на нагрев самого тела и поверхности земли, Или другими словами, на

увеличение кинетической энергии атомов тела и поверхности земли. Отметим,

что если рассматривать данное тело как изолированную систему, то его полная

энергия, не сохранялась бы. Однако, со включением в систему поверхности

земли все встало на свои места. Закон сохранения энергии сработал.

Закон сохранения энергии отражает симметрию явлений природы по отношению к

переносу во времени, или, иначе, постоянство законов природы во времени.

Проще всего доказать это от противного. Покажем, что если бы законы природы

менялись во времени, то энергия не сохранялась бы. Пусть, например,

меняется во времени закон всемирного тяготения, и даже не сам закон, а

только гравитационная постоянная G (см. формулу 10.7). Поднятое в какой-то

момент времени на высоту [pic] тело будет обладать потенциальной энергией

[pic], где ускорение свободного падения равно: [pic], где М - масса Земли,

а Rз - ее радиус. Если гравитационная постоянная G, будет меняться, то

вместе с ней будет меняться потенциальная и полная механическая энергия.

Налицо нарушение закона сохранения энергии.

Отсюда вывод: если бы законы природы менялись со временем, то это привело

бы к нарушению закона сохранения энергии.

Рассмотрим закон сохранения импульса. Импульсом или количеством движения

тела называется произведение скорости поступательного движения этого тела

на его массу P(m(. Импульсом системы называется векторная сумма импульсов

всех тел, образующих эту систему. Если в системе имеются только силы

взаимодействия и нет внешних сил, то такая система называется замкнутой.

Закон сохранения импульса гласит: полный импульс изолированной системы не

меняется, т.е. остается постоянным при любых взаимодействиях внутри этой

системы. Отражением какого преобразования пространства или процесса

симметрии является этот закон? Он отражает тот факт, что сдвиг начала

системы отсчета в произвольном направлении на любое расстояние, не меняет

течения явлений природы и никак не отражается на в законах природы. Проще

всего это показать следующим образом. Пусть имеется материальная точка

массой m, имеющая скоростью ( в произвольной системе отсчета К. Импульс

материальной точки равен P(m(, где скорость точки ((r’(t). Пусть мы перешли

в другую систему отсчета, начало координат которой сдвинуто на постоянный

вектор ro относительно системы отсчета К. Как изменится импульс? В системе

отсчета K’ он будет равен mu:

[pic].

Получилось, что импульс тела не меняется при сдвиге начала системы

координат на вектор ro, т.е. при переходе от одной системы к другой,

неподвижной относительно первой.

Таким образом, закон сохранения импульса является отображением однородности

пространства, т.е. отсутствием каких-либо выделенных, «особых» точек в

пространстве.

Закон сохранения момента импульса или момента количества движения является

отображением еще одного фундаментального свойства пространства - его

изотропности.

Момент импульса L равен векторному произведению радиуса вектора тела на

импульс тела: L([rp]. Т.е. L - это вектор, направленный перпендикулярно

векторам r и p и по модулю равный произведению их длин на синус угла (

между ними, т.е. L(r(p(sin(. Из двух направлений, перпендикулярных

векторам r и p, направление вектора L выбирается по правилу буравчика. При

вращение ручки буравчика от r к p в направлении меньшего угла

поступательное движение буравчика укажет направление вектора момента

импульса. Полный момент импульса системы равен векторной сумме моментов

импульса всех тел системы. Система называется замкнутой, если в ней имеются

только силы взаимодействия между телами и нет внешних сил. Закон сохранения

момента импульса гласит: полный момент импульса тела или изолированной

системы не меняется ни при каких взаимодействиях тел внутри этой системы.

Под изотропностью пространства подразумевают отсутствие каких-либо

преимущественных или выделенных направлений в пространстве. Все направления

в пространстве равноценны и нет ни одного, которое обладало бы каким-то

преимуществом перед другими.

Закон сохранения момента импульса и является отображением изотропности

пространства. В терминах предыдущего раздела мы можем сформулировать

следующее. При применении операции поворота в пространстве момент

количества движения тела не меняется, поскольку его величина и направление

зависят лишь от длин и взаимной ориентации векторов r и p. Значит, какое бы

направление в пространстве мы ни приняли для нашей системы координат,

момент импульса тела от этого не изменится. Строгое доказательство этого

утверждения требует использование аппарата векторной алгебры и выходит за

рамки наших рассмотрений.

Закон сохранения зарядов может быть сформулирован так. Алгебраическая сумма

зарядов изолированной системы не меняется ни при каких взаимодействиях

внутри этой системы. Понять, отображением каких свойств пространства

является этот закон, можно лишь после глубокого знакомства с квантовой

механикой. В квантовой механике поведение тела (микрочастицы) описывается

волновой функцией - (, которая в общем случае может быть комплексной.

Квадрат модуля этой функции умноженный на элемент объема равен вероятности

обнаружить частицу в этом элементе объема. Эта функция тоже может быть

подвергнута различным преобразованиям в пространстве и времени. Одно из

таких преобразований - записывается как [pic], где [pic]- мнимая единица,

[pic]- некоторое число, [pic]- заряд. Наглядного физического смысла это

преобразование не имеет. Его называют локальным калибровочным

преобразованием. Модуль написанного выражения равен единице,

[pic] поэтому, такое преобразование не может изменить волновую функцию по

модулю, а физический смысл имеет именно квадрат ее модуля. Значит,

поведение частицы не меняется при локальном калибровочном преобразовании.

Закон сохранения заряда является отражением симметрии квадрата модуля

волновой функции относительно локального калибровочного преобразования.

13.3. Эволюция закона сохранения массы - энергии - материи.

Все многообразие окружающего нас мира нужно рассматривать, как проявление

свойств материи. Материя существует вне нас, она отображается и познается

нашими органами чувств. Качественная формулировка закона сохранения материи

как неучтожимой и несотворимой основы всего существующего была известна еще

с античных времен.

Материя не существует вне движения и наоборот, движение не существует без

материи. Качественная формулировка этого положения существовала до начала

нашей эры.

В настоящем курсе мы рассмотрены и введены меры, характеризующие количество

матери - массу и движение материи - энергию.

С появлением математического аппарата в физике появились и математические

формулировки законов сохранения массы и энергии. Закон сохранения массы был

сформулирован французским химиком А.Л. Лавуазье (1743-1794) в конце 18-го

века. Он не требует специальных комментариев. Закон сохранения энергии

трансформировался на протяжении полутора веков. Первоначально немецкий

ученый Г.В.Лейбниц (1646-1716) сформулировал закон сохранения для

механической энергии. В его формулировке утверждалось, что сумма

потенциальной и кинетической энергии замкнутой системы остается постоянной

во времени.

[pic].

Первоначально теплота и механическая энергия рассматривались независимо

друг от друга. Теплоту считали невидимой жидкостью, которая могла

перетекать от горячего тела к холодному при контакте. До сих пор

сохранились отголоски такого представления; например, говорят о

“перетекании” тепла, о “теплоемкостях”. Интересно, что в рамках имеенно

такого представления о теплоте Н.Л.С.Карно (1796-1832) удалось разработать

теорию тепловых машин.

Первым на эквивалентность теплоты и работы обратил внимание немецкий ученый

- естествоиспытатель и врач Ю.Р.Майер (1814-1878). В медицине в то время

часто применялось кровопускание. Майер обратил внимание на то, что цвет

крови человека меняется при изменении температуры внешней Среды

температуры. В тропиках, где температура выше, цвет крови был более алым.

Кровь содержала больше кислорода, который необходим для работы мышц тела.

Проанализировав эти факты, Ю.Р.Майер пришел к выводу, что чем больше

теплоты подводится в систему, тем меньше требуется затрат энергии из самой

системы на совершение работы. Он в 1842 году рассчитал механический

эквивалент теплоты.

Позднее на основе этих положений был сформулирован закон сохранения

энергии, который называется первым началом термодинамики. Этот закон

гласит, что теплота Q, подводимая к системе идет на совершение системой

работы A и на изменение внутренней энергии системы (U. Математически первое

начало термодинамики записывается так:

[pic].

Таким образом, к середине 19-го века были окончательно сформулированы

законы сохранения массы и энергии, которые трактовались как законы

сохранения материи и движения.

В начале 20-го века оба эти закона подверглись коренному пересмотру в связи

с появлением специальной теории относительности. Как уже отмечалось

релятивистская масса зависит от скорости, следовательно, характеризует не

только количество материи, но и ее движение. В разделе 12.3 выведена самую

знаменитую формула 20-го века - формулу (12.10), связывающую массу и

энергию тела:

[pic].

В специальной теории относительности естественным образом слились законы

сохранения массы и энергии, существовавшие в классической механике порознь.

По отдельности эти законы не выполняются. Невозможно охарактеризовать

количество материи (ее массу), не учитывая движения (взаимодействия)

материи. Это является отражением философской концепции о неразделимости

материи и движения.

Формулу [pic] иногда ошибочно интерпретируют, как тождественность массы и

энергии. Это не правильно. Данная формула означает, что между энергией

(мерой движения) и массой (мерой количества матери) существует взаимосвязь.

Энергия и масса могут взаимно превращаться друг в друга. Количественное

соотношение, определяющее этот переход и дается формулой (13.4).

В настоящее время обобщенный закон сохранения энергии можно сформулировать

в следующем виде. Полная энергия замкнутой системы, включающая энергию,

эквивалентную массе этой системы, не изменяется во времени.

Естественно, что вплоть до наших дней, до развития такой области физики,

как атомная и ядерная физика, нельзя было найти отклонения от законов

сохранения массы и энергии в их первоначальных формулировках. Конечно, если

мы увеличим скорость тела, то его масса изменится. Но, для реальных тел

макроскопического размера никакими весами и сейчас мы не сможем найти

изменение этой массы. Например, если скорость движения человека массой 100

кг равна 100 м/с, то его энергия движения равна 1000000 Дж. Эта энергия

эквивалентна массе 10-11 кг, которую невозможно определить никакими

современными методами на фоне собственной массы в 100 кг. Этот пример

показывает, что на современном этапе развития техники как правило можно

пользоваться старой формулировкой закона сохранения энергии.

Приведем еще один пример, показывающий, когда нужно применять новую

формулировку закона сохранения энергии, и позволяющий дать интерпретацию

нового закона сохранения энергии. При делении ядра урана сумма масс

дочерних ядер меньше исходного ядра. Разность этих масс в соответствии с

формулой (13.4) переходит в кинетическую энергию осколков деления -

дочерних ядер. Масса системы (т.е. ядра) уменьшается, но увеличивается

кинетическая энергия системы. Энергия при полном делении всего 1 г урана

как раз и равна энергии взрыва бомбы над Хиросимой в 1945 году.

Эволюция закона сохранения энергии интересна с двух точек зрения. С одной

стороны, законы сохранения, будучи почерпнутыми из опыта, нуждаются в

постоянной экспериментальной проверке, в уточнении. Нельзя быть уверенным,

что с расширением пределов человеческого опыта данный закон (или его

конкретная формулировка) останутся справедливыми и не потребуют уточнения

границ, в рамках которых они остаются справедливыми. С другой стороны, в

законе сохранения энергии теснейшим образом переплелись физика и философия.

Этот закон, все более уточняясь, постепенно превратился из абстрактного и

неопределенного философского высказывания в точную количественную формулу.

Другие законы сохранения (импульса, момента импульса, заряда и т.д.)

возникли практически сразу в количественной формулировке и не требовали

в дальнейшем уточнения.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6