Концепция современного естествознания

длительность какого-либо события [pic]:

[pic].

Помимо времени, неизменным остается расстояние между двумя точками.

Обозначим расстояние между точками А и В через [pic] в системе K и [pic] в

системе K’. Координаты этих точек, соответственно, [pic] в системе K и

[pic] в системе К’. Расстояние между точками определяется их координатам по

теореме Пифагора:

[pic]

Продифференцируем по времени соотношения (10.1) и получим преобразования

Галилея для скоростей:

[pic]

Из этих формул видно, что при переходе от системы К к К’ изменится лишь

проекция скорости на ось OX, вдоль которой движется система К’, проекции

скорости на направления других осей сохранятся. Продифференцируем эти

выражения по времени еще раз и получим закон преобразования ускорений при

переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую:

[pic]

Из этих выражений видно, что все три проекции ускорения на оси координат

остаются неизменными при переходе из системы отсчета К в К’. Таким образом,

ускорение тоже является инвариантом преобразований Галилея.

Закон сохранения массы был сформулирован уже после Галилея и Ньютона. Но,

для полноты картины, добавим, что в классической механике масса тела не

зависит от выбора системы отсчета и также является инвариантом

преобразований Галилея.

10.3. Законы классической механики и их инвариантность относительно

преобразований Галилея.

Создание основ классической механики завершается трудами И.Ньютона,

сформулировавшего основные законы механики и открывшего закон всемирного

тяготения. Классическая механика Ньютона базировалась на работах Галилея,

Декарта, Паскаля, Гука и многих других.

Раздел механики, в котором изучаются причины движения тел, т.е. силы,

вызывающие их движение, называется динамикой. Основные законы механики,

сформулированные Ньютоном дошли почти без изменений до наших дней. Они

известны из школьного курса физики. Напомним их.

Первый закон Ньютона. Всякое тело в инерциальной системе отсчета сохраняет

состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие

со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

Второй закон Ньютона. Ускорение тела прямо пропорционально сумме сил,

действующих на него и обратно пропорционально его массе. Запишем этот

закон в векторной форме с учетом кинематических соотношений

[pic]

В этих формулировках мы использовали понятие импульса или количества

движения P = m((, которое было введено Декартом. Закон Ньютона, записанный

в виде (10.6.а) или (10.6.б) с математической точки зрения имеет вид

дифференциального уравнения, т.е. уравнения в котором значение функции

связывается со значением ее производной. Любая из формулировок (10.6.а,б)

второго закона Ньютона называется основным уравнением динамики. Решение

этого уравнения является основной задачей динамики. Основная задача

динамики может быть поставлена в форме прямой и обратной задачи. В прямой

задаче требуется по известному закону движения тела r(t) найти действующие

на это тело силы. В обратной задаче по известной зависимости действующих

сил от времени (F(t) требуется найти закон движения тела r(t). Различные

формулировки (10.6) могут немного менять постановку основной задачи, как

прямой, так и обратной. Однако, прямая задача всегда математически сводится

к дифференцированию, а обратная - к интегрированию. Очевидно, что решение

обратной задачи динамики должно быть значительно более трудоемким, чем

прямой. Отметим также, что для решения обратной задачи требуется знать

начальные условия, которых в зависимости от постановки задачи (в форме

10.6.а или 10.6.б) должно быть задано либо столько же, сколько и степеней

свободы системы, либо вдвое больше.

Третий закон Ньютона. Силы, с которыми взаимодействуют тела равны по

величине, противоположны по направления и направлены вдоль линии

взаимодействия. Этот закон утверждает, что силовое воздействие на тело

носит характер взаимодействия. Этот же закон утверждает, что взаимодействия

всех тел являются центральными.

Закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном, иногда называют четвертым

законом Ньютона. Его открытие базируется на трудах выдающихся астрономов 16-

17-х веков Н.Коперника и И.Кеплера. И.Кеплер на основании учении Коперника

о гелиоцентрической системе мира сформулировал три закона движения планет.

Эти законы были правильными, но, как показал впоследствии И.Ньютон,

являлись частным случаем более общего закона всемирного тяготения. Законы

Кеплера позволяли найти орбиты планет, периоды их обращения вокруг солнца и

скорость движения планет по орбитам.

С позиций современной механики отметим, что второй закон Кеплера является

следствием закона сохранения момента импульса, он справедлив для движения

тела в поле любых центральных сил.

С использование введенного нами математического аппарата закон всемирного

тяготения можно написать в виде:

[pic], где G - гравитационная постоянная, m1 и m2 массы тел,

[pic] единичный вектор, направленный вдоль линии взаимодействия,

определяющий направление гравитационной силы [pic].

Тело, двигающееся прямолинейно и равномерно относительно системы отсчета К,

вследствие уравнений (10.4) движется также прямолинейно и равномерно

относительно системы отсчета К’. Это обозначает, что формулировка первого

закона Ньютона во всех инерциальных системах отсчета одинакова (правильнее

сказать, первый закон Ньютона справедлив во всех инерциальных системах

отсчета). Отметим, что, уравнения (10.4) позволяют по одной известной

инерциальной системе отсчета построить бесконечное множество других.

В системе координат К форма записи второго закона Ньютона определяется

уравнениями (10.6). Поскольку, ускорение и масса инвариантны относительно

преобразований Галилея, уравнение (10.6) одинаково записывается в различных

инерциальных системах отсчета.

Поскольку, величина силы не меняется при переходе от одной инерциальной

системы отсчета к другой, третий закон Ньютона тоже инвариантен

относительно преобразований Галилея.

Четвертый закон не нуждается в доказательстве инвариантности относительно

преобразований Галилея, поскольку расстояния, массы и силы не меняются при

переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую.

Таким образом, все законы Ньютона инвариантны относительно преобразований

Галилея. Это значит, что они справедливы и записываются одинаковым образом

во всех инерциальных системах отсчета.

10.4. Детерминизм классической механики.

Под детерминизмом понимается философское учение об объективной

закономерности, взаимосвязи и причинной обусловленности всех явлений

материального и духовного мира. Центральным ядром детерминизма является

положение о причинности. Идея детерминизма состоит в том, что все явления

и события в мире не произвольны, а подчиняются объективным закономерностям,

независимо от наших знаний о природе явлений. Всякое следствие имеет свою

причину.

Как и все остальное в физике, понятие детерминизма менялось по мере

развития физики и всего естествознания. В 19-м веке теория Ньютона

окончательно оформилась и установилась. Существенный вклад в ее становление

внес П.С.Лаплас (1749 - 1827). Он был автором классических трудов по

небесной механике и теории вероятности. Он же разработал принцип

механического детерминизма, который сегодня носит его имя: детерминизм

Лапласа.

Согласно классическому механистическому детерминизму существует строго

однозначная связь между физическими величинами, характеризующими состояние

системы в какой-то момент времени (координаты и импульсы) и значениями этих

величин в любой последующий или предыдущий моменты времени.

Если говорить более простым языком, детерминизм по Лапласу означает, что мы

всегда однозначно можем описать поведение тела или любой сколь угодно

сложной системы, если знаем начальные координаты и скорости тела, а также

знаем законы движения и взаимодействия тел.

Этот принцип совершенно справедлив, если не выходить за рамки классической

механики. Действительно, решение основной обратной задачи динамики всегда

позволяет по известным силам (F(x,y,z,t), приложенным к телу найти закон

его движения r(x,y,z,t) и изменения скорости ((x,y,z,t). Полученные решения

всегда будут однозначными и точными. Сказанное обозначает, что движение

тела можно рассчитать сколь угодно далеко вперед. Тоже самое относится и к

системе тел. Рассмотренная задача позволила сделать Лапласу сформулировать

принцип механического детерминизма. Если известны начальные координаты и

скорости тел системы, а также законы взаимодействия тел, то можно

определить состояние системы в любой последующий момент времени. Примерами

практического воплощения этого принципа еще во времена Лапласа были

астрономические таблицы, очень точно описывавшие движения небесных тел на

многие годы вперед.

Отметим, что для успешного практического решения подобных задач законы

взаимодействия тел нужно знать очень точно, либо нужно смириться с тем, что

расчет будет адекватно описывать поведение системы лишь в ограниченном

временном интервале. Связано это с тем, что неточности расчета имеют

свойство накапливаться и искажать получающуюся картину, - чем дальше, тем

больше. Кроме того нужно иметь ввиду, что для решения задачи о движении

большого количества взаимодействующих тел нужно задать очень большое

количество начальных данных, законов взаимодействия и решать очень

громоздкую систему дифференциальных уравнений. Не следует думать, что дело

смогут спасти ЭВМ новых поколений; трудности, которые возникнут при решении

такой задачи, носят принципиальный характер. За все время существования

вселенной невозможно даже задать положения всех молекул воздуха,

находящихся в 1-м см3, не говоря уже о том, что решать эту систему

уравнений нужно быстрее, чем в режиме реального времени.

Заметим, однако, что сказанное выше не отменяет принцип детерминизма,

поскольку суть его в том, что состояние любой, даже самой сложной

механической системы, однозначно определяется начальными условиями и

законами взаимодействия. В природе успевают происходить такие движения,

которые экспериментатор не может успеть описать, но от этого его расчеты не

станут неправильными, они лишь могут стать неактуальными или ненужными.

С позиций сегодняшних знаний о природе можно утверждать, что

механистический детерминизм Лапласа не работает в микромере, где процессы

взаимодействия частиц по своей природе являются вероятностными. При

столкновении двух атомов один из них может возбудиться (перейти в

возбужденное состояние), а может и остаться в основном, невозбужденном

состоянии. В последнем случае атомы будут сталкиваться как идеально упругие

шары, в первом случае как неупругие шары. Результаты столкновения в этих

случаях будут сильно различаться, а решить, как будет происходить

взаимодействие, до того как оно произойдет, в принципе невозможно. В

микромире могут одновременно протекать процессы, которые абсолютно

несовместимы в макромире. Например, в опытах по дифракции электронов

удавалось одну и туже частицу заставить пролетать одновременно сквозь два

разнесенных друг от друга отверстия. Можно говорить лишь о вероятности

прохождения данного конкретного электрона через выбранное отверстие. Для

таких частиц оказывается неприменимым понятие траектории.

Когда описывается квантовая микросистема, предсказывается ее поведение в

рамках вероятностного описания, но не дается однозначного ответа, как

конкретно она будет себя вести. При этом всегда остаются в силе причинно-

следственные связи.

11. РАБОТА, ЭНЕРГИЯ.

Мы с вами уже обсуждали вопрос, что такое энергия и дали на него следующий

ответ. Энергия - это наиболее общая количественная мера движения и

взаимодействия материи. Закон сохранения энергии - один из наиболее точных

фундаментальных законов. Для изолированной системы энергия остается

постоянной, она может переходить из одной формы в другую, но ее количество

остается неизменным. Если система не изолирована, то энергия может

изменятся при одновременном изменении энергии окружающих тел на такую же

величину или за счет энергии взаимодействия тел внутри системы. При

переходе системы из одного состояния в другое ее энергия не зависит от

того, каким путем произошел этот переход. Энергия системы в общем случае

может переходить в другие формы материи. Несколько позднее, при анализе

законов общей теории относительности мы установим взаимосвязь энергии

массы. С учетом всего вышесказанного можно считать, что закон сохранения

энергии является в настоящее время самым точным фундаментальным законом,

отступлений от которого не обнаружено.

По сути дела, утверждается, что существует определенная величина,

называемая энергией, численное значение которой сохраняется при всех

обстоятельствах, и этот закон управляет всеми явлениями в природе.

Поскольку существует многообразие форм движения материи, существует и

многообразие видов энергий. Мы рассмотрим наиболее известные в физике виды

энергии: кинетическую, потенциальную и полную механическую энергию.

Определение этих видов энергии будет дано ниже. Сначала нужно дать

определение механической работы. Работа силы - это мера действия силы,

которая зависит от численной величины силы и ее направления, от перемещения

точки приложения силы. Если сила F постоянна по величине и направлению, а

перемещение происходит вдоль прямой, то работа равна произведению силы на

величину перемещения и косинус угла между направлением силы и перемещением

(см. рис. 11.1).

[pic],

Если 0(((900 то работа положительна, если 900(((1800 то работа

отрицательная. При (=900 механическая работа силы равна нулю, т.е. такая

сила работы при перемещении не совершает. Примером последней может служить

центростремительная сила при движении тела по окружности. Как видно из

определения, работа - величина скалярная. Единицей измерения работы в

системе единиц СИ является Джоуль (Дж). Один Джоуль - это работа силы в 1

Ньютон на участке пути в 1 метр. В общем случае для вычисления работы

dr da

F

S F

Рис.11.1 Рис.11.2

под действием переменной силы на криволинейном участке траектории вводят

элементарную работу (A (или dA). Считаем, что на бесконечно малом участке

пути dr сила не меняется и элементарная работа (A определяется как:

[pic], так как это показано на рис.11.2. Работа - величина аддитивная;

работа силы на конечном участке пути (1)((2) определяется как сумма

элементарных работ. Суммирование по бесконечно малым величинам (А есть

операция интегрирования:

[pic], где интегрирование ведется вдоль траектории. В векторном анализе

такой интеграл называется циркуляцией вектора силы. Заметим, что в этом

выражении легко перейти к другой переменной интегрирования, ко времени.

[pic]. Введенная здесь величина N называется мгновенной

механической мощностью или просто мощностью тела.

[pic].

Что будет происходить с системой (в простейшем случае -с материальной

точкой) при совершении работы над ней. Запишем элементарную работу и

выразим силу в нем при помощи второго закона Ньютона

[pic]

Слева стоит элементарная работа, а справа дифференциал некоторой функции

,имеющий размерность работы и зависящий от скорости: дифференциал функции

скорости, определяемой совершенной работой. Пусть в начальный момент

времени t0 скорость тела равнялась (0. Полную работу за промежуток времени

от t0 до t1 получим после интегрирования dA, как это сделано в формуле

(11.4). Совершаемая над телом работа привела к увеличению его скорости.

Теперь можно ввести понятие кинетической энергии:

[pic].

Кинетическая энергия определяется работой, которая совершена над телом.

Положительная работа приводит к увеличению скорости тела и к увеличению

кинетической энергии, отрицательная - к уменьшению того и другого. Если

система состоит из многих тел, то ее кинетическая энергия складывается из

кинетических энергий всех тел.

Кроме кинетической энергии есть еще потенциальная энергия, для которой не

существует общей формулы. Это понятие можно ввести лишь для ограниченного

класса сил - для консервативных сил. Это силы, работа которых по замкнутой

траектории равна нулю. Существует другое определение консервативных сил.

Консервативными силами называются такие силы, работа в поле которых не

зависит от траектории и определяется только начальным и конечным положением

системы. Нетрудно показать, что эти определения равнозначны. Действительно,

если работа не зависит от траектории, то при обратном движении вдоль

траектории она будет такая же, но с обратным знаком. Просуммировав движение

по замкнутой траектории, состоящей из двух кривых, получаем в сумме 0.

Консервативные силы, как правило, зависят только от положения тела, а

неконсервативные - от его скорости.

Рассмотрим примеры полей консервативных и неконсервативных сил. Силы трения

или сопротивления являются неконсервативными. Их направление определяется

скоростью перемещения тел. Силы трения всегда направлены в сторону,

противоположную направлению движения, т.е.: [pic]. Здесь [pic]- единичный

вектор, направленный вдоль скорости тела, а значит, по касательной вдоль

траектории его движения. Работа силы трения по замкнутой траектории ([pic])

равна:

[pic]. Здесь и в дальнейшем кружок у интеграла означает интегрирование по

замкнутой траектории. Последнее подынтегральное выражение скалярное, оно

всегда положительно, следовательно, работа силы трения на замкнутой

траектории [pic] всегда отрицательна. Эта работа тем больше по модулю, чем

длиннее путь. Вывод: силы трения - неконсервативные силы.

Заметим, что кроме сил трения движения, есть еще так называемые силы трения

покоя, которые, как это ясно из их названия, обеспечивают телу состояние

покоя. Поскольку движения тела не происходит, то и работы они не совершают.

Примером поля консервативных сил является поле тяготения вблизи поверхности

Земли. Работа, которая затрачивается на перемещение тела из положения r1 в

положение r2 равна: [pic]. Из этой формулы видно, что работа силы

тяжести зависит от величины этой силы и от разности начальной и конечной

высот тела. Никакой зависимости от формы траектории нет, а значит, сила

тяжести консервативна.

Также просто можно доказать, что консервативными являются силы, создающие

однородное поле. Поле сил называется однородным, если в любой точке этого

поля сила, действующая на тело одинакова по величине и направлению.

Консервативными являются также поля центральных сил. Центральными

называются силы, направленные вдоль линии взаимодействия тел, величина

которых зависит только от расстояния между телами. Такому условию

удовлетворяют, например, кулоновские силы и силы тяготения.

В поле консервативных сил можно ввести еще один вид механической энергии -

потенциальную энергию. Прежде чем ее вводить, выбирают точку, в которой она

равна нулю. Потенциальная энергия тела в любой точке пространства

определяется работой, которую нужно совершить, чтобы переместить тело из

этой точки в точку с нулевой потенциальной энергией.

Отметим два существенных момента, вытекающих из этого определения. Во-

первых, поскольку рассматривается поле консервативных сил, значение

потенциальной энергии тела зависит от положения тела и выбора точки нулевой

потенциальной энергии и не зависит от формы пути, по которому тело

перемещается. Во-вторых, поскольку выбор нуля потенциальной энергии

произволен, значение потенциальной энергии определяется с точностью до

аддитивной постоянной, следовательно физический смысл имеет лишь разность

потенциальных энергий или приращение потенциальной энергии, но не сама

энергия.

На рис.11.3 мы представили три точки в пространстве поля консервативных

сил: точку (b), точку (с) и точку (о), потенциальную энергию в которой

будем считать равной 0. Обозначим через Abo работу, которая совершается при

переносе тела из точки (b) в точку (o). Если перемещать тело из точки (o)

в точку (b), то совершаемая при этом работа будет равна Aob=-Abo, поскольку

меняется направление движения, но не меняются действующие на тело силы.

Работу по перемещению тела из точки (c) в точку (o) будем обозначать, как

Асo. Точно также Асо=-Аос. При перемещении тела из точки (b) в точку (c)

совершается работа Abc=-Acb. Согласно определению потенциальной энергии и

формуле (11.3) для вычисления работы имеем:

[pic]

b Eпот(b)

Abo

Аbc O

C Eпот(С) Aco

Рис. 11.3

Оказалось доказанным следующее утверждение: работа, совершаемая при

перемещении тела в поле консервативных сил из точки (b) в точку (c), равна

разности потенциальных энергий тела в точках (b) и (c). Однако, эта же

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6