Золотое сечение

|решает 10-ю | | | | | | | | | | | | | | |

|проблему Гильберта.| | | | | | | | | | | | | | |

|Возникают изящные | | | | | | | | | | | | | | |

|методы решения ряда| | | | | | | | | | | | | | |

|кибернетических | | | | | | | | | | | | | | |

|задач (теории | | | | | | | | | | | | | | |

|поиска, игр, | | | | | | | | | | | | | | |

|программирования) с| | | | | | | | | | | | | | |

|использованием | | | | | | | | | | | | | | |

|чисел Фибоначчи и | | | | | | | | | | | | | | |

|золотого сечения. В| | | | | | | | | | | | | | |

|США создается даже | | | | | | | | | | | | | | |

|Математическая | | | | | | | | | | | | | | |

|Фибоначчи-ассоциаци| | | | | | | | | | | | | | |

|я, которая с 1963 | | | | | | | | | | | | | | |

|года выпускает | | | | | | | | | | | | | | |

|специальный журнал.| | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

|Одним из достижений| | | | | | | | | | | | | | |

|в этой области | | | | | | | | | | | | | | |

|является открытие | | | | | | | | | | | | | | |

|обобщенных чисел | | | | | | | | | | | | | | |

|Фибоначчи и | | | | | | | | | | | | | | |

|обобщенных золотых | | | | | | | | | | | | | | |

|сечений. | | | | | | | | | | | | | | |

|Ряд Фибоначчи (1, | | | | | | | | | | | | | | |

|1, 2, 3, 5, 8) и | | | | | | | | | | | | | | |

|открытый им же | | | | | | | | | | | | | | |

|«двоичный» ряд гирь| | | | | | | | | | | | | | |

|1, 2, 4, 8, 16... | | | | | | | | | | | | | | |

|на первый взгляд | | | | | | | | | | | | | | |

|совершенно разные. | | | | | | | | | | | | | | |

|Но алгоритмы их | | | | | | | | | | | | | | |

|построения весьма | | | | | | | | | | | | | | |

|похожи друг на | | | | | | | | | | | | | | |

|друга: в первом | | | | | | | | | | | | | | |

|случае каждое число| | | | | | | | | | | | | | |

|есть сумма | | | | | | | | | | | | | | |

|предыдущего числа с| | | | | | | | | | | | | | |

|самим собой 2 = 1 +| | | | | | | | | | | | | | |

|1; 4 = 2 + 2..., во| | | | | | | | | | | | | | |

|втором – это сумма | | | | | | | | | | | | | | |

|двух предыдущих | | | | | | | | | | | | | | |

|чисел 2 = 1 + 1, 3 | | | | | | | | | | | | | | |

|= 2 + 1, 5 = 3 + | | | | | | | | | | | | | | |

|2.... Нельзя ли | | | | | | | | | | | | | | |

|отыскать общую | | | | | | | | | | | | | | |

|математическую | | | | | | | | | | | | | | |

|формулу, из которой| | | | | | | | | | | | | | |

|получаются и | | | | | | | | | | | | | | |

|«двоичный» ряд, и | | | | | | | | | | | | | | |

|ряд Фибоначчи? А | | | | | | | | | | | | | | |

|может быть, эта | | | | | | | | | | | | | | |

|формула даст нам | | | | | | | | | | | | | | |

|новые числовые | | | | | | | | | | | | | | |

|множества, | | | | | | | | | | | | | | |

|обладающие | | | | | | | | | | | | | | |

|какими-то новыми | | | | | | | | | | | | | | |

|уникальными | | | | | | | | | | | | | | |

|свойствами? | | | | | | | | | | | | | | |

|Действительно, | | | | | | | | | | | | | | |

|зададимся числовым | | | | | | | | | | | | | | |

|параметром S, | | | | | | | | | | | | | | |

|который может | | | | | | | | | | | | | | |

|принимать любые | | | | | | | | | | | | | | |

|значения: 0, 1, 2, | | | | | | | | | | | | | | |

|3, 4, 5... | | | | | | | | | | | | | | |

|Рассмотрим числовой| | | | | | | | | | | | | | |

|ряд, S + 1 первых | | | | | | | | | | | | | | |

|членов которого – | | | | | | | | | | | | | | |

|единицы, а каждый | | | | | | | | | | | | | | |

|из последующих | | | | | | | | | | | | | | |

|равен сумме двух | | | | | | | | | | | | | | |

|членов предыдущего | | | | | | | | | | | | | | |

|и отстоящего от | | | | | | | | | | | | | | |

|предыдущего на S | | | | | | | | | | | | | | |

|шагов. Если n-й | | | | | | | | | | | | | | |

|член этого ряда мы | | | | | | | | | | | | | | |

|обозначим через ?S | | | | | | | | | | | | | | |

|(n), то получим | | | | | | | | | | | | | | |

|общую формулу ?S | | | | | | | | | | | | | | |

|(n) = ?S (n – 1) + | | | | | | | | | | | | | | |

|?S (n – S – 1). | | | | | | | | | | | | | | |

|Очевидно, что при S| | | | | | | | | | | | | | |

|= 0 из этой формулы| | | | | | | | | | | | | | |

|мы получим | | | | | | | | | | | | | | |

|«двоичный» ряд, при| | | | | | | | | | | | | | |

|S = 1 – ряд | | | | | | | | | | | | | | |

|Фибоначчи, при S = | | | | | | | | | | | | | | |

|2, 3, 4. новые ряды| | | | | | | | | | | | | | |

|чисел, которые | | | | | | | | | | | | | | |

|получили название | | | | | | | | | | | | | | |

|S-чисел Фибоначчи. | | | | | | | | | | | | | | |

|В общем виде | | | | | | | | | | | | | | |

|золотая S-пропорция| | | | | | | | | | | | | | |

|есть положительный | | | | | | | | | | | | | | |

|корень уравнения | | | | | | | | | | | | | | |

|золотого S-сечения | | | | | | | | | | | | | | |

|xS+1 – xS – 1 = 0. | | | | | | | | | | | | | | |

|Нетрудно показать, | | | | | | | | | | | | | | |

|что при S = 0 | | | | | | | | | | | | | | |

|получается деление | | | | | | | | | | | | | | |

|отрезка пополам, а | | | | | | | | | | | | | | |

|при S = 1 –знакомое| | | | | | | | | | | | | | |

|классическое | | | | | | | | | | | | | | |

|золотое сечение. | | | | | | | | | | | | | | |

|Отношения соседних | | | | | | | | | | | | | | |

|S-чисел Фибоначчи с| | | | | | | | | | | | | | |

|абсолютной | | | | | | | | | | | | | | |

|математической | | | | | | | | | | | | | | |

|точностью совпадают| | | | | | | | | | | | | | |

|в пределе с | | | | | | | | | | | | | | |

|золотыми | | | | | | | | | | | | | | |

|S-пропорциями! | | | | | | | | | | | | | | |

|Математики в таких | | | | | | | | | | | | | | |

|случаях говорят, | | | | | | | | | | | | | | |

|что золотые | | | | | | | | | | | | | | |

|S-сечения являются | | | | | | | | | | | | | | |

|числовыми | | | | | | | | | | | | | | |

|инвариантами | | | | | | | | | | | | | | |

|S-чисел Фибоначчи. | | | | | | | | | | | | | | |

|Факты, | | | | | | | | | | | | | | |

|подтверждающие | | | | | | | | | | | | | | |

|существование | | | | | | | | | | | | | | |

|золотых S-сечений в| | | | | | | | | | | | | | |

|природе, приводит | | | | | | | | | | | | | | |

|белорусский ученый | | | | | | | | | | | | | | |

|Э.М. Сороко в книге| | | | | | | | | | | | | | |

|«Структурная | | | | | | | | | | | | | | |

|гармония систем» | | | | | | | | | | | | | | |

|(Минск, «Наука и | | | | | | | | | | | | | | |

|техника», 1984). | | | | | | | | | | | | | | |

|Оказывается, | | | | | | | | | | | | | | |

|например, что | | | | | | | | | | | | | | |

|хорошо изученные | | | | | | | | | | | | | | |

|двойные сплавы | | | | | | | | | | | | | | |

|обладают особыми, | | | | | | | | | | | | | | |

|ярко выраженными | | | | | | | | | | | | | | |

|функциональными | | | | | | | | | | | | | | |

|свойствами | | | | | | | | | | | | | | |

|(устойчивы в | | | | | | | | | | | | | | |

|термическом | | | | | | | | | | | | | | |

|отношении, тверды, | | | | | | | | | | | | | | |

|износостойки, | | | | | | | | | | | | | | |

|устойчивы к | | | | | | | | | | | | | | |

|окислению и т. п) | | | | | | | | | | | | | | |

|только в том | | | | | | | | | | | | | | |

|случае, если | | | | | | | | | | | | | | |

|удельные веса | | | | | | | | | | | | | | |

|исходных | | | | | | | | | | | | | | |

|компонентов связаны| | | | | | | | | | | | | | |

|друг с другом одной| | | | | | | | | | | | | | |

|из золотых | | | | | | | | | | | | | | |

|S-пропорций. Это | | | | | | | | | | | | | | |

|позволило автору | | | | | | | | | | | | | | |

|выдвинуть гипотезу | | | | | | | | | | | | | | |

|о том, что золотые | | | | | | | | | | | | | | |

|S-сечения есть | | | | | | | | | | | | | | |

|числовые инварианты| | | | | | | | | | | | | | |

|самоорганизующихся | | | | | | | | | | | | | | |

|систем. Будучи | | | | | | | | | | | | | | |

|подтвержденной | | | | | | | | | | | | | | |

|экспериментально, | | | | | | | | | | | | | | |

|эта гипотеза может | | | | | | | | | | | | | | |

|иметь | | | | | | | | | | | | | | |

|фундаментальное | | | | | | | | | | | | | | |

|значение для | | | | | | | | | | | | | | |

|развития | | | | | | | | | | | | | | |

|синергетики – новой| | | | | | | | | | | | | | |

|области науки, | | | | | | | | | | | | | | |

|изучающей процессы | | | | | | | | | | | | | | |

|в | | | | | | | | | | | | | | |

|самоорганизующихся | | | | | | | | | | | | | | |

|системах. | | | | | | | | | | | | | | |

|С помощью кодов | | | | | | | | | | | | | | |

|золотой S-пропорции| | | | | | | | | | | | | | |

|можно выразить | | | | | | | | | | | | | | |

|любое | | | | | | | | | | | | | | |

|действительное | | | | | | | | | | | | | | |

|число в виде суммы | | | | | | | | | | | | | | |

|степеней золотых | | | | | | | | | | | | | | |

|S-пропорций с | | | | | | | | | | | | | | |

|целыми | | | | | | | | | | | | | | |

|коэффициентами. | | | | | | | | | | | | | | |

|Принципиальное | | | | | | | | | | | | | | |

|отличие такого | | | | | | | | | | | | | | |

|способа кодирования| | | | | | | | | | | | | | |

|чисел заключается в| | | | | | | | | | | | | | |

|том, что основания | | | | | | | | | | | | | | |

|новых кодов, | | | | | | | | | | | | | | |

|представляющие | | | | | | | | | | | | | | |

|собой золотые | | | | | | | | | | | | | | |

|S-пропорции, при S | | | | | | | | | | | | | | |

|> 0 оказываются | | | | | | | | | | | | | | |

|иррациональными | | | | | | | | | | | | | | |

|числами. Таким | | | | | | | | | | | | | | |

|образом, новые | | | | | | | | | | | | | | |

|системы счисления с| | | | | | | | | | | | | | |

|иррациональными | | | | | | | | | | | | | | |

|основаниями как бы | | | | | | | | | | | | | | |

|ставят «с головы на| | | | | | | | | | | | | | |

|ноги» исторически | | | | | | | | | | | | | | |

|сложившуюся | | | | | | | | | | | | | | |

|иерархию отношений | | | | | | | | | | | | | | |

|между числами | | | | | | | | | | | | | | |

|рациональными и | | | | | | | | | | | | | | |

|иррациональными. | | | | | | | | | | | | | | |

|Дело в том, что | | | | | | | | | | | | | | |

|сначала были | | | | | | | | | | | | | | |

|«открыты» числа | | | | | | | | | | | | | | |

|натуральные; затем | | | | | | | | | | | | | | |

|их отношения – | | | | | | | | | | | | | | |

|числа рациональные.| | | | | | | | | | | | | | |

|И лишь позже – | | | | | | | | | | | | | | |

|после открытия | | | | | | | | | | | | | | |

|пифагорейцами | | | | | | | | | | | | | | |

|несоизмеримых | | | | | | | | | | | | | | |

|отрезков – на свет | | | | | | | | | | | | | | |

|появились | | | | | | | | | | | | | | |

|иррациональные | | | | | | | | | | | | | | |

|числа. Скажем, в | | | | | | | | | | | | | | |

|десятичной, | | | | | | | | | | | | | | |

|пятеричной, | | | | | | | | | | | | | | |

|двоичной и других | | | | | | | | | | | | | | |

|классических | | | | | | | | | | | | | | |

|позиционных | | | | | | | | | | | | | | |

|системах счисления | | | | | | | | | | | | | | |

|в качестве | | | | | | | | | | | | | | |

|своеобразной | | | | | | | | | | | | | | |

|первоосновы были | | | | | | | | | | | | | | |

|выбраны натуральные| | | | | | | | | | | | | | |

|числа – 10, 5, 2, –| | | | | | | | | | | | | | |

|из которых уже по | | | | | | | | | | | | | | |

|определенным | | | | | | | | | | | | | | |

|правилам | | | | | | | | | | | | | | |

|конструировались | | | | | | | | | | | | | | |

|все другие | | | | | | | | | | | | | | |

|натуральные, а | | | | | | | | | | | | | | |

|также рациональные | | | | | | | | | | | | | | |

|и иррациональные | | | | | | | | | | | | | | |

|числа. | | | | | | | | | | | | | | |

|Своего рода | | | | | | | | | | | | | | |

|альтернативой | | | | | | | | | | | | | | |

|существующим | | | | | | | | | | | | | | |

|способам счисления | | | | | | | | | | | | | | |

|выступает новая, | | | | | | | | | | | | | | |

|иррациональная | | | | | | | | | | | | | | |

|система, в качестве| | | | | | | | | | | | | | |

|первоосновы, начала| | | | | | | | | | | | | | |

|счисления которой | | | | | | | | | | | | | | |

|выбрано | | | | | | | | | | | | | | |

|иррациональное | | | | | | | | | | | | | | |

|число (являющееся, | | | | | | | | | | | | | | |

|напомним, корнем | | | | | | | | | | | | | | |

|уравнения золотого | | | | | | | | | | | | | | |

|сечения); через | | | | | | | | | | | | | | |

|него уже выражаются| | | | | | | | | | | | | | |

|другие | | | | | | | | | | | | | | |

|действительные | | | | | | | | | | | | | | |

|числа. | | | | | | | | | | | | | | |

|В такой системе | | | | | | | | | | | | | | |

|счисления любое | | | | | | | | | | | | | | |

|натуральное число | | | | | | | | | | | | | | |

|всегда представимо | | | | | | | | | | | | | | |

|в виде конечной, – | | | | | | | | | | | | | | |

|а не бесконечной, | | | | | | | | | | | | | | |

|как думали ранее! –| | | | | | | | | | | | | | |

|суммы степеней | | | | | | | | | | | | | | |

|любой из золотых | | | | | | | | | | | | | | |

|S-пропорций. Это | | | | | | | | | | | | | | |

|одна из причин, | | | | | | | | | | | | | | |

|почему | | | | | | | | | | | | | | |

|«иррациональная» | | | | | | | | | | | | | | |

|арифметика, обладая| | | | | | | | | | | | | | |

|удивительной | | | | | | | | | | | | | | |

|математической | | | | | | | | | | | | | | |

|простотой и | | | | | | | | | | | | | | |

|изяществом, как бы | | | | | | | | | | | | | | |

|вобрала в себя | | | | | | | | | | | | | | |

|лучшие качества | | | | | | | | | | | | | | |

|классической | | | | | | | | | | | | | | |

|двоичной и | | | | | | | | | | | | | | |

|«Фибоначчиевой» | | | | | | | | | | | | | | |

|арифметик. | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

|8. Принципы | | | | | | | | | | | | | | |

|формообразования в | | | | | | | | | | | | | | |

|природе | | | | | | | | | | | | | | |

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5